# RE：ゼロから始める PKU 生活 episode 1

zsy也成为大学生了呢！开学都一周了才意识到吗

# 9.25

## 互信息(Mutual Information)

$H(X)=-\sum_{x \in X}p(x)\log(p(x))$

$I(X;Y)=\sum_{x \in X}\sum_{y \in Y}p(x,y)\log\frac{p(x,y)}{p(x)p(y)}$

### 一些性质

#### 非负性

$f(\sum_{i=1}^na_ix_i)\le \sum_{i=1}^na_if(x_i)$

$-I(X;Y)=\sum_{x \in X}\sum_{y \in Y}p(x,y)\log\frac{p(x)p(y)}{p(x,y)}\\\le \log[\sum_{x \in X}\sum_{y \in Y}p(x,y)\frac{p(x)p(y)}{p(x,y)}]\\=0$

#### 对称性

$I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)=H(Y)-H(Y|X)=I(Y;X)$

$I(X;Y)=\sum_{x \in X}\sum_{y \in Y}p(x,y)\log\frac{p(x,y)}{p(x)p(y)}\\=\sum_{x \in X}\sum_{y \in Y}p(x,y)\log\frac{p(x,y)}{p(x)}-\sum_{x \in X}\sum_{y \in Y}p(x,y)\log p(y)\\=\sum_{x \in X}\sum_{y \in Y}p(x)p(y|x)\log p(y|x)-\sum_{y \in Y}p(y)\log p(y)\\=-\sum_{x \in X}p(x)H(Y|x)+H(Y)\\=-H(Y|X)+H(Y)$

# 9.26

## 一些数学题

### 证明：$\mathbb Q(\sqrt[n]2)=\{\sum_{i=0}^{n-1}a_i\sqrt[n]{2^i}|a_0, a_1...a_{n-1}\in \mathbb Q\}$是一个数域。

$A=\begin{bmatrix} a_0&a_1&a_2&\cdots&a_{n-1}\\ 2a_{n-1}&a_0&a_1&\cdots&a_{n-2}\\ 2a_{n-2}&2a_{n-1}&a_0&\cdots&a_{n-3}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 2a_1&2a_2&2a_3&\cdots&a_0 \end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix} \xi_0^0&\xi_1^0&\cdots&\xi_{n-1}^0\\ \xi_0^1&\xi_1^1&\cdots&\xi_{n-1}^1\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \xi_0^{n-1}&\xi_1^{n-1}&\cdots&\xi_{n-1}^{n-1}\\ \end{bmatrix}$

$AB=\begin{bmatrix} f(\xi_0)&f(\xi_1)&\cdots&f(\xi_{n-1})\\ \xi_0f(\xi_0)&\xi_1f(\xi_1)&\cdots&\xi_{n-1}f(\xi_{n-1})\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \xi_0^{n-1}f(\xi_0)&\xi_1^{n-1}f(\xi_1)&\cdots&\xi_{n-1}^{n-1}f(\xi_{n-1})\\ \end{bmatrix}=(\prod_{i=0}^{n-1}f(\xi_i))B$

$|A|=\prod_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)$

$A^T\begin{bmatrix}b_0\\b_1\\ \vdots\\b_{n-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\\ \vdots\\0\end{bmatrix}$

# 10.12

## 数分习题课小记

### $(\frac{*}{\infty})$型Stolz定理的证明

$\{b_n\}$严格单调增且$\lim\limits_{n \to \infty}b_n = + \infty$

$l=0$时，$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=0$，也即$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, s.t.\forall n > N, |\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}| < \epsilon,|a_{n+1}-a_n|<\epsilon(b_{n+1}-b_n).$

$|a_n-a_N|=|\sum_{i=N+1}^n(a_i-a_{i-1})|\\\le\sum_{i=N+1}^n|a_i-a_{i-1}|\\< \epsilon\sum_{i=N+1}^n(b_i-b_{i-1})\\=\epsilon(b_n-b_N)$

$|\frac{a_n}{b_n}-\frac{a_N}{b_n}| < \epsilon(1-\frac{b_N}{b_n})$

$a_N,b_N$是常数，而$\lim\limits_{n \to \infty}b_n = + \infty$，故$|\frac{a_n}{b_n}|<\epsilon(1-\frac{b_N}{b_n})+\frac{a_N}{b_n}$两边取极限得$\lim\limits_{n \to \infty}|\frac{a_n}{b_n}| < \epsilon$。故$\lim\limits_{n \to \infty}|\frac{a_n}{b_n}| = 0$

$l \neq 0$且有限时，构造序列$a_n' = a_n + lb_n$，则有

$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l \\\Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty}(\frac{a_{n+1}'-a_n'}{b_{n+1}-b_n}+l)=l\\\Rightarrow\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}'-a_n'}{b_{n+1}-b_n}=0\\\Rightarrow\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_n'}{b_n}=0\\\Rightarrow\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=l$

$l = \pm \infty$时，以$+ \infty$为例，不难证明此时$\{a_n\}$也满足严格单调增，且$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = + \infty$，从而说明$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{b_{n+1}-b_n}{a_{n+1}-a_n}=0_+$，利用$l=0$时的结论即可完成证明。

### 例题

$\begin{cases}x_1 = \frac 35\\ y_1 = \frac 45\\x_{n+1} = x_n \cos y_n - y_n \sin y_n\\ y_{n+1} = x_n \sin y_n + y_n \cos y_n\end{cases}$

$\begin{cases}\cos \theta_{n+1} = \cos\theta_n \cos \sin\theta_n - \sin\theta_n \sin \sin\theta_n\\ \sin\theta_{n+1} = \cos\theta_n \sin \sin\theta_n + \sin\theta_n \cos \sin\theta_n\end{cases}$

$\theta_{n+1}=\theta_n + \sin\theta_n$

$\begin{cases} \lim\limits_{n \to \infty}\theta_n = \pi\\ \lim\limits_{n \to \infty}x_n = \lim\limits_{n \to \infty}\cos \theta_n = -1\\ \lim\limits_{n \to \infty}y_n = \lim\limits_{n \to \infty}\sin \theta_n = 0 \end{cases}$

### 例题

$\{q_n\}$满足$0 < q_n < 1,(1-q_n)q_{n+1} > \frac 14$。证明：$\{q_n\}$单调递增且极限为$\frac 12$

# 10.15

## 高代习题课小记

### 求行列式

$D_n=\begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots&1\\ x_1&x_2&x_3&\cdots&x_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_1^{n-2}&x_2^{n-2}&x_3^{n-2}&\cdots&x_{n}^{n-2}\\ x_1^{n}&x_2^{n}&x_3^n&\cdots&x_{n}^{n}\\ \end{vmatrix}$

$F(y)=\begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots&1&1\\ x_1&x_2&x_3&\cdots&x_n&y\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ x_1^{n-2}&x_2^{n-2}&x_3^{n-2}&\cdots&x_{n}^{n-2}&y^{n-2}\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&x_3^{n-1}&\cdots&x_{n}^{n-1}&y^{n-1}\\ x_1^{n}&x_2^{n}&x_3^n&\cdots&x_{n}^{n}&y^n\\ \end{vmatrix} = \prod_{i=1}^n(y-x_i)\prod_{1 \le j < i \le n}(x_i-x_j)$

$D_n = -[y^{n-1}]F(y) = (\sum_{i=1}^nx_i)[\prod_{1 \le j < i \le n}(x_i-x_j)]$

### 包含$e$的最小数域$\mathbb Q(e)$

$\{\frac{p(e)}{q(e)}\}$，其中$p,q$是有理多项式且$q(e) \neq 0$

# 10.16

$a = l_1 = \inf_{n \ge 1}\{\frac{x_n}{n}\}$，显然有$a \le \sup_{n \ge 1}l_n=\underline\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{n}$

$\forall n > N,$ 将 $n$ 写成 $mN+k$ 的形式，其中 $0 \le k < N,$ 于是

$\frac{x_n}{n} = \frac{x_{mN+k}}{n} \le \frac{mx_N}{n}+\frac{x_k}{n} \le \frac{mN}{n}(a+\varepsilon) + \frac{\max_{i=0}^{N-1}a_i}{n}$

$\overline\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{n} \le a + \varepsilon$

$\overline\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{n} \le a$

$a \le \underline\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{n} \le \overline\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{n} \le a$

$\underline\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{n} = \overline\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n}{n} = a$

$\{\frac{x_n}{n}\}$极限存在。

# 10.19

### zyy教育的是

$\lim\limits_{n\to\infty}(a_{n+1}-a_n)=a$时，构造$b_n=n$，根据$Stolz$定理可以得到$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=a$

# 10.20

### 谢惠民3.7.3第一组参考题10.

$\{x_n\}$是正数列，求证$\overline\lim\limits_{n\to\infty}n(\frac{1+x_{n+1}}{x_n}-1) \ge 1$

$\frac{1+x_{n+1}}{x_n} < \frac{n+1}{n}\\\frac{1+x_{n+1}}{n+1} < \frac{x_n}{n}\\\frac{x_n}{n}-\frac{x_{n+1}}{n+1} > \frac{1}{n+1}$

$\{\frac{x_n}{n}\}$严格递减，且$\frac{x_n}{n}-\frac{x_{n+m}}{n+m} > \sum_{k = n+1}^{n+m}\frac{1}{k}$，当固定$n$时，$\lim\limits_{m \to \infty}(\frac{x_n}{n}-\frac{x_{n+m}}{n+m}) \ge \lim\limits_{m \to \infty}\sum_{k = n+1}^{n+m}\frac{1}{k} = + \infty$

# 10.21

### 淑芬习题2 29.

$\{a_n\} \subset [a, b]$，求证若$\{a_n\}$发散，则$\{a_n\}$必有两个子列收敛于不同的数。

### 淑芬习题2 33.

$\overline\lim\limits_{n\to\infty}(x_n+y_n) = \overline\lim\limits_{n\to\infty}x_n + \overline\lim\limits_{n\to\infty} y_n\\\overline\lim\limits_{n\to\infty}(x_ny_n) = \overline\lim\limits_{n\to\infty} x_n \overline\lim\limits_{n\to\infty} y_n$

$\{y_n\} = \begin{cases} b&\exists k, n_k = n\\ a&\exists k, m_k = n\\ 0&\text{otherwise} \end{cases}$

$\overline\lim\limits_{n\to\infty}(x_n+y_n) = a + b < 2a = \overline\lim\limits_{n\to\infty}x_n + \overline\lim\limits_{n\to\infty}y_n\\\overline\lim\limits_{n\to\infty}(x_ny_n) = ab < a^2 = \overline\lim\limits_{n\to\infty}x_n\overline\lim\limits_{n\to\infty}y_n$

# 10.22

### 三对角行列式的通项

$D_n= \begin{vmatrix} a&b&0&\cdots&0&0\\ c&a&b&\cdots&0&0\\ 0&c&a&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&a&b\\ 0&0&0&\cdots&c&a \end{vmatrix}_n$

$D_n = aD_{n-1} - bcD_{n-2}$

$\alpha, \beta$为方程$x^2 - ax + bc = 0$的两根，可得$D_n$的通项公式为

$D_n = \begin{cases} \frac{\alpha^{n+1} - \beta^{n+1}}{\alpha - \beta}&\alpha \neq \beta\\ (n+1)\alpha^n&\alpha = \beta \end{cases}$

$\alpha, \beta$可以取到复数，最终算出来的通项仍然会是实数）

## 高代习题课小记

### 例题

$\mathbb C^n$中解方程组

$\begin{cases} x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0\\ x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + \cdots + x_n ^ 2 = 0\\ \vdots\\ x_1 ^ n + x_2 ^ n + \cdots + x_n ^ n = 0 \end{cases}$

$S_k = \sum_{i=1}^nx_i^k, P_k = \sum_{i_1i_2\cdots i_k}\prod_{j=1}^kx_{i_j}$

$\Rightarrow P_1 = P_2 = \cdots = P_n = 0$

$\Rightarrow \prod_{i=1}^n(y+x_i) = y^n$

$\Rightarrow x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0$

### 例题

$D = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}$

$a_{ii} > \sum_{j=1, j\neq i}^n |a_{ij}|, i=1,2,\cdots,n$

$D = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 0&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&b_{n2}&\cdots&b_{nn} \end{vmatrix}$

\begin{aligned}\sum_{j=2, j\neq i}^n|b_{ij}| &\le \sum_{j=2, j\neq i}^n|a_{ij}| + \frac{|a_{i1}|}{a_{11}}\sum_{j=2, j\neq i}^n|a_{1j}|\\&<a_{ii} - |a_{i1}| + \frac{|a_{i1}|}{a_{11}} (a_{11}-|a_{1i}|)\\&= a_{ii} - |a_{1i}|\frac{|a_{i1}|}{a_{11}}\\&\le a_{ii} - a_{1i}\frac{a_{i1}}{a_{11}}\\&=b_{ii} \end{aligned}

$D = a_{11}\begin{vmatrix} b_{22}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ b_{n2}&\cdots&b_{nn} \end{vmatrix}_{n-1}$

# 10.24

### 一道有趣（？）的几何题

$E$$E[S_{\Delta}]$时，$f(x) = (1-x)^2, \int_0^1f(x)dx=\frac 13$

$E$$E[\min\{S_{\Delta_1},S_{\Delta_2}\}]$时，$f(x) = \max\{(1-2x)^2,0\}, \int_0^1f(x)dx=\frac 16$

$E$$E[\min\{S_{\Delta_1},S_{\Delta_2}, S_{\Delta_3}\}]$时，$f(x) = \max\{(1-3x)^2,0\}, \int_0^1f(x)dx=\frac 19$

# 10.27

### 谢惠民例题

$\{a_n\}$是正数列，求证$\overline\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} \le 1$的充要条件是$\forall l > 1, \lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{l^n} = 0$

$\varepsilon < a - 1, 1 < l < a - \varepsilon$，故$a_{n_k} > (a - \varepsilon)^{n_k} > l_{n_k}, \lim\limits_{k \to \infty}\frac{a_{n_k}}{l^{n_k}} > 1$，这与$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{l^n} = 0$矛盾。

# 10.29

## 证明：$\mathbb R^n$不能表示为

### （3）可列(countable)个真子空间的并

（否则，令$v(a_i) = \sum_{j=1}^na_i^{j-1}\varepsilon_j$其中$a_i$互不相同，则它们都在$W_i$中，由Vandermonde行列式可知其系数行列式非零，故$\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n$$v(a_1), \cdots, v(a_n)$可以互相线性表出，这与$\dim W_i < n$矛盾。）

# 11.2

$f:[0,1]\to[0,1]$为一个单调递增函数，且$f(0)>0, f(1)<1$，证明$\exists x_0\in(0,1), f(x_0)=x_0.$

$T_n = [-n, n]$，则$A = \cup_{i=1}^{\infty}(T_n \cap A)$，因为$A$是不可数的，所以$\exists n, T_n \cap A$是不可数的。

$f:\mathbb R \to \mathbb R$单调，则$\lim\limits_{x\to a-0}f(x) \neq \lim\limits_{x \to a+0}f(x)$只对可数个点成立。

$\{a|\lim\limits_{x\to a-0}f(x) \neq \lim\limits_{x \to a+0}f(x)\} = \cup_{i=1}^{\infty}\{a|\lim\limits_{x\to a+0}f(x) - \lim\limits_{x \to a-0}f(x) > \frac 1n\}$

$A$不可数，则存在$A_n$不可数

$\exists [-k,k], s.t.[-k,k]\cap A_n$中有无穷多个点，经过每个点时函数值都要增加$\frac 1n$$f(k)-f(-k)$是有限数，因而矛盾。故$A$可数。

$f:\mathbb R \to \mathbb R$满足$\forall a \in \mathbb R, \lim\limits_{x\to a-0}f(x)$$\lim\limits_{x\to a+0}f(x)$均存在，则$\lim\limits_{x\to a-0}f(x) \neq \lim\limits_{x \to a+0}f(x)$只对可数个点成立。

$\{a|\lim\limits_{x\to a-0}f(x) \neq \lim\limits_{x \to a+0}f(x)\} = \cup_{i=1}^{\infty}\{a||\lim\limits_{x\to a+0}f(x) - \lim\limits_{x \to a-0}f(x)| > \frac 1n\}$

$A$不可数，则存在$A_n$不可数

$\exists [-k,k], s.t.[-k,k]\cap A_n$中有无穷多个点，由BW定理可知存在单调上升序列$\{x_n\}, s.t.\lim\limits_{n\to\infty}x_n = x_0$，容易证明$\forall \varepsilon > 0, (x_0-\varepsilon, x_0)$内可以找到两个取值差$\ge \frac 1n$的点，从而$\lim\limits_{t\to x_0-0}f(t)$不存在。

posted @ 2020-09-26 10:13  租酥雨  阅读(599)  评论(14编辑  收藏