人工智能之机器学习最优化基础——射包（Convex Hull）

 

射包（Convex Hull） 是计算几何中的一个重要概念，指的是给定点集的最小凸包。具体来说，射包是包含点集 PPP 的最小凸多边形（或凸多面体）。从几何上看，射包可以被认为是用橡皮筋包裹点集后形成的形状。

1. 射包的定义

给定一个点集 P={p_1​,p₂​,…,p_n​}射包（Convex Hull）是满足以下条件的集合：

• 包含 P 中的所有点；
• 是一个凸集合；
• 是满足上述条件的最小集合。

凸性的定义

• 如果多边形或多面体内的任意两点 A 和 B 的连线都完全位于该多边形或多面体内，则称其为凸的。

2. 射包的性质

1. 唯一性：

   • 给定点集的射包是唯一的。

2. 凸性：

   • 射包始终是一个凸多边形或凸多面体。

3. 边界点的定义：

   • 构成射包的点称为“射包的顶点”或边界点，它们通常是点集中的子集。

4. 包含性：

   • 射包包含点集中的所有点以及凸多边形内部的点。

5. 点的极值性质：

   • 射包的顶点是点集中某些方向上的极值点（例如，最左、最右、最上和最下的点）。

3. 射包的构建算法

构建射包的算法有多种，主要有以下几种常见方法：

(1) Gift Wrapping（礼物包装法）

• 思路：
  • 从点集中最左侧的点开始，找到顺时针方向的下一个点，重复直到回到起始点。
• 时间复杂度：
  • O(nh)，其中 n 是点的数量，h 是射包的顶点数。
• 适用场景：
  • 适合点数较少的场景。

(2) Graham Scan（Graham 扫描法）

• 思路：
  • 先按极角对点进行排序，然后使用栈构建射包。
  • 每加入一个点，检查是否满足凸性，不满足则回退点。
• 时间复杂度：
  • O(nlog⁡n)，主要开销在于排序。
• 适用场景：
  • 通用、高效，适合点数较多的场景。

 

(3) Divide and Conquer（分治法）

• 思路：
  • 将点集分为左右两部分，分别构建射包，然后合并。
• 时间复杂度：
  • O(nlog⁡n)，与 Graham 扫描法类似。
• 适用场景：
  • 高效，适用于分布式计算。

(4) Quickhull

• 思路：
  • 类似快速排序的分治思想，找到凸包上的点，递归划分剩余点。
• 时间复杂度：
  • 平均情况 O(nlog⁡n)，最差情况 O(n²)。
• 适用场景：
  • 点数较少或点分布均匀时效率较高。

4. 射包的应用

(1) 计算几何

• 用于解决多边形面积计算、交集运算、点是否在凸区域内等问题。

(2) 图像处理

• 在图像分析中，射包可用于描述目标物体的边界形状。

(3) 机器学习

• 在分类问题中，射包用于支持向量机（SVM）的边界划分。

(4) 数据分析

• 用于识别点集的极值，分析分布范围。

5. 二维平面上的射包

在二维平面上，射包可以被看作是包含所有点的最小凸多边形，具体构建过程如下：

1. 点的排序：

   • 按 x-坐标（或 y-坐标）排序。

2. 扫描法：

   • 使用栈记录射包的顶点，通过顺时针或逆时针的方向保证凸性。

3. 边的连接：

   • 构建上下两个凸链，最终形成闭合的多边形。

6. 射包的三维扩展

在三维空间中，射包是包含点集的最小凸多面体。构建三维射包的常用算法包括：

• Incremental Algorithm：逐点插入构建。
• Divide and Conquer：分治法扩展到三维。
• Quickhull：快速求解方法。

7. 实例示意

二维射包

给定点集 (2,3),(1,1),(3,0),(0,0),(2,2)，射包是一个凸多边形，其顶点按逆时针顺序依次为： (0,0),(3,0),(2,3),(1,1)。

三维射包

给定点集 (x,y,z)，射包是一个凸多面体，顶点为点集中的子集，边和面由相邻顶点构成。

 

8.总结

• 定义：射包是包含点集的最小凸集合。
• 性质：唯一性、凸性和包含性。
• 算法：Graham 扫描法和 Quickhull 是最常用的构建算法。
• 应用：广泛用于计算几何、图像处理、机器学习等领域。

射包是计算几何中的基础问题，其高效求解对许多实际问题具有重要意义。