基础最短路总结

最短路

Problem Description

在每年的校赛里，所有进入决赛的同学都会获得一件很漂亮的t-shirt。但是每当我们的工作人员把上百件的衣服从商店运回到赛场的时候，却是非常累的！所以现在他们想要寻找最短的从商店到赛场的路线，你可以帮助他们吗？

 

Input

输入包括多组数据。每组数据第一行是两个整数N、M（N<=100，M<=10000），N表示成都的大街上有几个路口，标号为1的路口是商店所在地，标号为N的路口是赛场所在地，M则表示在成都有几条路。N=M=0表示输入结束。接下来M行，每行包括3个整数A，B，C（1<=A,B<=N,1<=C<=1000）,表示在路口A与路口B之间有一条路，我们的工作人员需要C分钟的时间走过这条路。
输入保证至少存在1条商店到赛场的路线。

 

Output

对于每组输入，输出一行，表示工作人员从商店走到赛场的最短时间

 

Sample Input

2 1

1 2 3

3 3

1 2 5

2 3 5

3 1 2

0 0

Sample Output

3

2

 

题目来源：hdu2544

 

总结：就让这题来总结一下最短路吧……

图中顶点数用 v 表示，边数用 e 表示；

最短路几个常用算法：dijkstra 、floyd 、spfa 、bellman_ford

 

一、时间复杂度

dijkstra      邻接矩阵：O(v^2)

floyd         邻接矩阵：O(v^3)

spfa          邻接表：  O(k*e)（k为常数）

bellman_ford  邻接矩阵：O(v^3) 邻接表：O(v*e)

 

二、注意点

1、dijkstra      （单源最短路）

a、只能求最短路，不能求最长路；1 2 2;1 3 1;2 4 1;3 4 3;1->4的最短路

b、权值只能为正；1 2 3 ；1 3 2 ；2 3 -2 ；以1为源点

 

2、floyd         （每对顶点最短路）

a、喜欢把变量顺序写成 i->j->k (k->i->j)

b、可以处理负数

 

3、spfa          （单源最短路）

a、可以求最长路；

b、可以求最值路的路径；

 

4、bellman_ford  （单源最短路）

a、不能求有负环的所有路径

 

dijkstra（邻接矩阵）

#include<iostream>
#define INF 10000000
#define N 110

using namespace std;

int map[N][N],visited[N],d[N],lowcost[N];

void dijkstra(int s,int n)
{
    int i,j,k,min;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        visited[i]=false;
        d[i]=INF;
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        lowcost[i]=map[s][i];
    }
    d[s]=0;
    visited[s]=true;
    for(i=1;i<n;i++) //这里要注意 不要写成i<=n
    {
        min=INF;
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            if(!visited[j]&&min>lowcost[j])
            {
                min=lowcost[j];
                k=j;
            }
        }
        d[k]=min;
        visited[k]=true;
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            if(!visited[j]&&lowcost[j]>d[k]+map[k][j])
            {
                lowcost[j]=d[k]+map[k][j];
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int n,m,u,v,w,i;
    while(cin>>n>>m&&(n|m))
    {
        for(u=1;u<=n;u++)
        {
            for(v=1;v<=n;v++)
            {
                map[u][v]=(u==v?0:INF);
            }
        }
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            cin>>u>>v>>w;
            map[v][u]=map[u][v]=w;
        }
        dijkstra(1,n);
        cout<<d[n]<<endl;
    }
    return 0;
}

 

floyd（邻接矩阵）

#include<iostream>
#define INF 10000000
#define N 110

using namespace std;

int d[N][N];

void floyd(int n)
{
    int k,i,j;
    for(k=1;k<=n;k++)
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            for(j=1;j<=n;j++)
            {
                if(d[i][j]>d[i][k]+d[k][j])
                {
                    d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int n,m,u,v,w,i;
    while(cin>>n>>m&&(n|m))
    {
        for(u=1;u<=n;u++)
        {
            for(v=1;v<=n;v++)
            {
                d[u][v]=(u==v?0:INF);
            }
        }
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            cin>>u>>v>>w;
            d[u][v]=d[v][u]=w;
        }
        floyd(n);
        cout<<d[1][n]<<endl;
    }
    return 0;
}

 

spfa （vector建邻接表）

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<queue>
#define INF 1000000000
#define N 110
using namespace std;

struct edge{int v,w;};
int n,d[N];
bool visited[N];
vector<edge>e[N];

void SPFA(int s)
{
    int temp,tv;
    queue<int>Q;
    while(!Q.empty()) Q.pop();
    Q.push(s);
    d[s]=0;
    visited[s]=true;
    while(!Q.empty())
    {
        temp=Q.front();
        vector<edge>::iterator it;
        for(it=e[temp].begin();it<e[temp].end();it++)
        {
            tv=it->v;
            if(d[tv]>d[temp]+it->w)
            {
                d[tv]=d[temp]+it->w;
                if(!visited[tv])
                {
                    Q.push(tv);
                    visited[tv]=true;
                }
            }
        }
        Q.pop();
        visited[temp]=false;
    }
}

int main()
{
    int m,u,v,w,i;
    while(cin>>n>>m&&(n|m))
    {
        edge t;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            e[i].clear();
            d[i]=INF;
            visited[i]=false;
        }
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            cin>>u>>v>>w;
            t.v=v;t.w=w;
            e[u].push_back(t);
            t.v=u;
            e[v].push_back(t);
        }
        SPFA(1);
        cout<<d[n]<<endl;
    }
    return 0;
}

 

bellman_ford（邻接矩阵）

#include<iostream>
#define INF 10000000
#define N 110

using namespace std;

int map[N][N],d[N];

bool bellman_ford(int s,int n)
{
    int i,u,v;
    for(i=1;i<=n;i++) d[i]=INF;
    d[s]=0;
    for(i=1;i<n;i++)
    {
        for(u=1;u<=n;u++)
        {
            for(v=1;v<=n;v++)
            {
                if(map[u][v]<INF&&d[v]>d[u]+map[u][v])
                {
                    d[v]=d[u]+map[u][v];
                }
            }
        }
    }
    for(u=1;u<=n;u++)
    {
        for(v=1;v<=n;v++)
        {
            if(map[u][v]<INF&&d[v]>d[u]+map[u][v])
            {
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

int main()
{
    int n,m,u,v,w,i;
    while(cin>>n>>m&&n|m)
    {
        for(u=1;u<=n;u++)
        {
            for(v=1;v<=n;v++)
            {
                map[u][v]=(u==v?0:INF);
            }
        }
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            cin>>u>>v>>w;
            map[v][u]=map[u][v]=w;
        }
        if(bellman_ford(1,n))
        {
            cout<<d[n]<<endl;
        }
    }
}