nyoj17 单调递增最长子序列（经典dp三）

 

单调递增最长子序列

时间限制：3000 ms  |  内存限制：65535 KB

难度：4

 

描述

求一个字符串的最长递增子序列的长度
如：dabdbf最长递增子序列就是abdf，长度为4

 

输入

第一行一个整数0<n<20,表示有n个字符串要处理
随后的n行，每行有一个字符串，该字符串的长度不会超过10000

输出

输出字符串的最长递增子序列的长度

样例输入

3
aaa
ababc
abklmncdefg

样例输出

1
3
7

分析：

方法一：求最大字段和的方法相似。O(n^2)

dp[i] 以 i 结尾的当然也包括 i  在内的最长递增子序列；

我经常犯的的一个错误是：dp[i] = d[j] + 1(j<i && s[j]<s[i] && j 是第一个成立的)

这是错误的 如："123124” 对应的dp是 dp[0]=1;dp[1]=2;dp[2]=3; dp[3]=1;dp[4]=2;dp[5]=3;这就是一个错误列子；

正解：dp[i] = max( d[j] ) + 1(j<i && s[j]<s[i] 成立中的最大的一个 ) 时间复杂度：O(n^2)

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 10010
using namespace std;

int dp[N];
char s[N];

int main()
{
    int len,test,i,j,max;
    scanf("%d",&test);
    while(test--)
    {
        scanf("%s",&s);
        len=strlen(s);
        dp[0]=1;
        for(i=1;i<len;i++)
        {
            max=0;
            for(j=i-1;j>=0;j--)
            {
                if(s[i]>s[j]&&max<dp[j])
                {
                    max=dp[j];
                }
            }
            dp[i]=max+1;
        }
        max=dp[0];
        for(i=1;i<len;i++)
            if(max<dp[i])
                max=dp[i];
        printf("%d\n",max);
    }
    return 0;
}

 方法二：这方法要常用   O(n^2)

使用一个数组  ans[] 来存储当前状态下最长递增子序列，用 count 来记录当前状态下的最大值，s[0...strlen(s)-1] 为输入数组；

当遍历到 s[i] 时，在 ans[0...count-1] 数组中，找到第一个位置使 ans[j]<s[i] ; ans[j+1] = s[i]; 当然如果 j==count-1时  count++；

这样做的最终效果是，在ans[0...count-1]数组中总是放的是最小符合要求的值。如：1342 ；ans中方的是 124 虽然不是真正的答案，但长度一样。

注意边界条件就 ans[0]  的处理：如案例 412 ；45123 ；

#include<iostream>
#include<cstring>
#define N 10010
using namespace std;

char s[N];
char ans[N];
int count;

int main()
{
    int test,len,i,j;
    cin>>test;
    while(test--)
    {
        cin>>s;
        len=strlen(s);
        count=1;
        ans[0]=s[0];
        for(i=0;i<len;i++)
        {
            for(j=count-1;j>=0;j--)
            {
                if(j==0&&ans[0]>s[i]) ans[0]=s[i];
                if(ans[j]<s[i])
                {
                    ans[j+1]=s[i];
                    if(j==count-1)  count++;
                    break;
                }
            }
        }
        ans[count]='\0';
//        cout<<ans<<endl;
        cout<<count<<endl;
    }
    return 0;
}

 方法三：最长递增子序列可以优化到 O(n*lg n)

通过优化方法二中的a[i]在ans[]什么位置，使用二分查找。

if(a[i]>ans[k]) {k=k+1;ans[k]=a[i];}

if(a[i]<ans[1]) ans[1]=a[i];

其他情况找到 ans[j]<a[i]<ans[j+1]   ans[j+1]=a[i];

#include<iostream>
#define N 1010

using namespace std;

char a[N],ans[N];

int work(int n)
{
    int i,j,k,s,e,m;
    ans[0]=a[0];
    k=0;
    for(i=1;i<n;i++)
    {
        if(ans[k]<a[i])
        {
            k++;
            ans[k]=a[i];
            continue;
        }
        s=0;e=k;
        while(s<=e)
        {
            if(a[i]<ans[s])
            {
                j=s;break;
            }
            if(ans[e]<a[i])
            {
                j=e+1;break;
            }
            m=(s+e)/2;
            if(ans[m]<a[i]) s=m+1;
            else if(a[i]<ans[m]) e=m-1;
            else 
            {
                j=m;break;
            }
        }
        ans[j]=a[i];
    }
    return k+1;
}

int main()
{
    int n,i;
    cin>>n;    
    while(n--)
    {
        cin>>a;
        cout<<work(strlen(a))<<endl;
    }
    return 0;
}