nyoj460 项链（经典dp 二）

 

项链

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难度：3

 

描述

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：

(4⊕1)=10*2*3=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为

((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

 

输入

有多组测试数据（<15），每组数据有两行。每组数据的第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当i<N时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。
至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出

对应每组数据，输出只有一行，是一个正整数E（E≤2.1*10^9），为一个最优聚合顺序所释放的总能量

样例输入

4
2 3 5 10

样例输出

710

算法分析：这个题与算法导论上的矩阵乘法，其实是一样的。唯一不同的是这里可以转圈，所以假设有n个元素，我就使数组变成2*n-1个元素；依次扫描长度为n个元素；  

结构体a中有两个变量s，e；s是珠子的头，e是珠子的尾；

为什么珠子不要翻转？？

dp方程：m[i][j] = ( i = j ? 0 : min { m[i][k] , m[k+1][j] + a[i].s * a[k].e * a[j].e } )  i=<k<j;  

方法一：循环实现，可以不用初始化，因为没次都是由底向上去，依次计算，故不用更新。

#include<iostream>
#define N 210

using namespace std;

int m[N][N],ans,n;
struct SS{int s,e;}a[N];

void work()
{
    int i,j,k,len,q;
    for(i=1;i<=2*n-1;i++)
    {
        m[i][i]=0;
    }
    for(len=2;len<=n;len++)
    {
        for(i=1;i<=2*n-len;i++)
        {
            j=i+len-1;
            m[i][j]=0;
            for(k=i;k<j;k++)
            {
                q=m[i][k]+m[k+1][j]+a[i].s*a[k].e*a[j].e;
                if(q>m[i][j])
                {
                    m[i][j]=q;
                }
            }
        }
    }
    ans=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(m[i][i+n-1]>ans)
            ans=m[i][i+n-1];
    }
}

int main()
{
    int i,t;
    while(cin>>n)
    {
        cin>>t;
        a[n].e=a[1].s=t;
        for(i=2;i<=n;i++)
        {
            cin>>t;
            a[i-1].e=a[i].s=t;
        }
        for(i=n+1;i<=2*n-1;i++)
        {
            a[i].s=a[i-n].s;
            a[i].e=a[i-n].e;
        }
        work();
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

/*
4
2 3 5 10
4
10 5 3 2
*/

方法二：使用递归来处理方法是做备忘录，这里要注意的细节是初始化，因为在上个案例中记录数组m[][]已经保存了，所以再次调用时还来不及改变就被利用了

所以要即使更新。

#include<iostream>
#define N 210

using namespace std;

struct SS{int s,e;}a[N];
int m[N][N];

void Init(int n)
{
    int i,j;
    for(i=1;i<=2*n;i++)
        for(j=1;j<=2*n;j++)
            m[i][j]=0;
}

int dp(int i,int j)
{
    if(m[i][j]>0)  return m[i][j];
    int k,q;
    for(k=i;k<j;k++)
    {
        q=dp(i,k)+dp(k+1,j)+a[i].s*a[k].e*a[j].e;
        if(q>m[i][j])
            m[i][j]=q;
    }
    return m[i][j];
}

int main()
{
    int n,t,i,ans;
    while(cin>>n)
    {
        cin>>t;
        a[1].s=a[n].e=t;
        for(i=2;i<=n;i++)
        {
            cin>>t;
            a[i-1].e=a[i].s=t;
        }
        for(i=n+1;i<=2*n-1;i++)
        {
            a[i].s=a[i-n].s;
            a[i].e=a[i-n].e;
        }
        Init(n);
        ans=0;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            t=dp(i,i+n-1);
            if(ans<t)
                ans=t;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

/*
5
2 3 5 10 2
4
2 3 5 10
*/