2026.9.20 模拟赛
https://oj.gxyzh.com/d/hzoj/contest/6aaf218051f50c2bea2e5381
序列
我们可以枚举两端的 \(x\) 的大小，选择最靠边的位置 \(L,R\)，选择中间的 \(<x\) 的点即可.
可以使用扫描线做到 \(O(n\log n)\)，双指针 \(O(n)\).
树
想到哈希，这道题就结束了.
之后在可持久化线段树上维护即可.
时间复杂度为 \(O((n+q)\log n)\)
六元组
题目要求我们求：
考虑做一个差分：
其中 \(pr_a\) 表示 \([1,r_a]\) 的权值，为 \(1/-1\).
现在我们需要解决上面的式子：
考虑使用扫描线解决 \([x_b\le r_a]pr_a\).
将 \(a\) 按照 \(r_a\) 排序，\(b\) 按照 \(x_b\) 排序，依次添加.
维护 \(w(c)\) 表示满足 \([x_c\le r_b]\) 的 \(pr_b\) 的值.
修改，对于所有 \([x_c\le r_b]\) 的 \(w(c)\)，添加 \(pr_b\) 的增量.
查询：\(\sum [x_a\le r_c]w(c)pr_c\).
我们不难发现有两个维度 \(r_c\) 与 \(x_c\)，并且是区间修改，考虑使用分块.
整块维护按照 \(x_c\) 进行排序，这样修改时就是修改一个前缀，散块暴力重构.
整块内按照 \(r_x\) 进行排序，这样查询时就是查询块内一个后缀.
可以预处理每个块 \(\ge x_a\) 的位置，需要使用 \(O(n^{\frac 32})\) 的空间.
同时需要处理有关懒标记的信息，较为容易实现.
因此上面算法时间复杂度为 \(O(n^{\frac 32})\)，需要卡常.
图
观察式子：
考虑将 \(\text{deg}\) 展开：
考虑其组合意义：对于一个图 \(G'\)，对于每一个点 \(u\)，选择钦定相连的一条边/选择不钦定，式子表示的就是所有情况的总贡献.
考虑上 \(E[W(G')]\) 同理，上面的转化组合意义的过程被称作 product trick.
因此可以使用状压 DP 解决：记录 \(n\) 个节点的状态，0 表示未钦定，1 表示已钦定.
现在按照任意顺序考虑一条边 \((u,v,p)\).
则有如下转移：
- 选择这条边不出现：\(f_{S}\times p\to f'_{S}\)
- 选择这条边出现：\(f_{S}\times (1-p)\to f'_{S},f'_{S+u},f'_{S+v},f'_{S+u+v}\)
若有 \(u,v\) 的状态已钦定，则不能转移.
最终答案为 \(\sum_{S}f_S\times t^{n-|S|}\)
时间复杂度为 \(O(2^nm)\).
由于题目中给出的性质，我们可以按照大小为 \(k\) 进行分块.
那么连边只有块内的连边以及相邻的块的连边.
考虑只进行状压相邻块的状态，则时间复杂度为 \(O(2^{2k}m)\).
考虑一个贪心的优化：对于已经连过边的点，可以直接删去；对于未添加的点，可以不记录状态.
需要动态实现二进制的表示，这里可以直接重构，因为每个数只会加入以及删去一次.
时间复杂度为 \(O(2^{1.5k}(n+m))\).
但事实上我们还可以进行优化，因为我们还没有利用性质 2：
每次转移的时候，先进行层间的转移，这一部分是 \(O(2^k(n+m))\) 的，不用优化.
之后从第 \(i\) 层向第 \(i+1\) 转移，考虑第 \(i\) 层的点向 \(x,y\) 连边：
我们进行的优化是：建出辅助图，\((x,y)\) 连边，若 \(x=y\) 则连一条自环.
这样第 \(i+1\) 层会构成若干个连通块.
每一条边表示：若 \(x,y\) 都被添加，则 \((x,y)\) 对应第 \(i\) 层的点可以直接删去.
因此考虑对连通块按照 \(|V|-|E|\) 从小到大排序，提取连通块的一棵 dfs 树，按照 dfs 序进行添加.
这样可以发现，每个时刻状态集合的大小总是 \(\le k+1\)，时间复杂度为 \(O(2^k(n+m))\).
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