2026.8.28 模拟赛

https://oj.gxyzh.com/d/hzoj/contest/6a8e9af251f50c2bea28a736

	T1	T2	T3	T4
实际得分	90	35	80	68
期望得分	50+	30	60+	44
能力得分	100	35	60	44

T1 是 ACAM+树上差分，T2 是神秘 DP，T3 是分治（两种暴力的复杂度平衡），T4 是神秘状压.

这数据也是无敌了：

• T1 理论可以卡到 \(O(\sum {P_i}\sqrt{\sum |S_i|}\log |S|)\) 的算法竟然可以拿到 \(90\) 分，事实上构造长度为等差数列的串可以卡满.
  暴力的 ACAM 可以轻松通过，但是正解 ACAM 可能会被卡常.
• T2 数据较为正常.
• T3 是比较难绷的，第一种暴力为进行搜索+二分图染色剪枝，理论复杂度为 \(O(L^2(u-1)!!)\)，令人震惊的是：这个暴力总耗时为 31 ms.
• T4 输出 0 有 44 分.

野人

不难发现这其实 ACAM 板子，但是场上只胡了一个带根号的哈希做法.

由于是多字符串匹配问题，所以想到 ACAM（或广义 SAM ?）.
这样，我们只需要统计：每次添加一个字符串 \(P\)，给每个原字符串 \(S_i\) 所作的贡献.

在 fail 树上考虑，若 \(u\) 结点匹配到，则其在 fail 树上的祖先均可以匹配到，我们需要给这些结点作一次贡献.
设最终匹配到的结点为 \(u_1,u_2,\dots u_v\)，我们要在 fail 上给这些结点的祖先作贡献，但是每个祖先至多一次.
因此这是一个树链求并的过程，似乎只能用 bitset.
但事实上，可以使用 dfs 序神秘小性质处理：

• 将节点 \(u_1,u_2,\dots u_v\) 按照 dfs 序排序.
• 将节点 \(u_1,u_2,\dots u_v\) 的根链上贡献 \(+1\).
• 将 dfs 序相邻的结点的 LCA 的根链上贡献 \(-1\).

可以使用树上差分+树状数组维护，时间复杂度为 \(O(\sum |P_i|\log |S_i|)\)，算是一个套路题.

半决赛分配

概率 DP 题，其中枚举分数线进行形式化题意的思想十分聪明.

考虑设定一个分数线：\((c,t)\) 表示：\(c\) 为排名中第 \(k\) 名的分数，\(t\) 为分数为 \(c\) 的最大标号.
那么晋级的必要条件为：

• 若 \(i<t\)，则 \(v_i\ge c\).
• 若 \(i=t\)，则 \(v_i=c\).
• 若 \(i>t\)，则 \(v_i> c\).

加上满足上面 3 个要求的下标有 \(k\) 个，这样就是充要条件.
显然，所有的 \((c,t)\) 是事件集的一个划分.

现在考虑先枚举 \(t\)，再枚举 \(c\in [worst_t,best_t]\).
那么这种情况发生的概率为：

\[base=\frac 1{best_t-worst_t+1} \]

在已固定选手 \(t\) 得分的条件下，令 \(p_i\) 为选手 \(i\) 满足上述晋级条件的概率。于是

\[p_i= \begin{cases} \Pr(score_i\ge c),&i<t,\\ 1,&i=t,\\ \Pr(score_i>c),&i>t. \end{cases} \]

令 \(f_{i,j}\) 是前 \(i\) 个人中，有 \(j\) 个晋级的概率.
那么有转移：

\[f_{i,j}=f_{i-1,j}(1-p_i)+f_{i-1,j-1}p_i \]

同理有 \(g_{i,j}\) 表示后缀的信息.

现在考虑统计每一个选手 \(i\) 的贡献，为：
考虑枚举前面和后面各有 \(L,R\) 个人晋级，满足 \(L+R=k-1\)
那么贡献为：

\[base\times p_i\times f_{i-1,L}\times g_{i+1,R} \]

由于上面的贡献是可以直接累加的，按照位置进行统计即可.

因此时间复杂度为 \(O(Wn^3)\).

不交半圆

使用两种暴力，按照数据范围进行分治.

暴力一

其实在样例解释中就有提示.
考虑将弦看作点，交叉点看作边，使用二分图染色即可判断是否合法.

剩下的考虑枚举 \(-1\) 的连边情况.
不难发现有 \((u-1)!!\) 种本质不同的情况.
因此时间复杂度为 \(O((u-1)!!L^2)\).

令人震惊的是：每次 dfs 一开始就检查是否是二分图，这个强力的剪枝可以使总耗时达到惊人的 31 ms.

暴力二

这个暴力相交于前一个显得更加复杂.