2026.8.26 模拟赛

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和绵阳中学等中学联考的模拟赛

T1 T2 T3 T4
实际得分 80 100 20 35
期望得分 80 100 20 40
能力得分 100 100 40~60 40~60

T1 是简单树上背包，T2 是插头 DP 模版，T3 是神秘字符串 DP，T4 是平面图神秘性质应用.

球队管理

场上拼了 80 分.

对每个节点为根跑一遍树上背包，设计三种节点状态：
0. 未选择.

  1. 选择，但联通块没有关键点.
  2. 选择，联通块有关键点.

直接背包即可，相除得到概率.

第 k 个齐次字符串

算是一道比较好的题.

我们发现，如果从前向后处理，我们只需要关心后 \(n-1\) 个字符的状态，这启示我们使用状压处理.
考虑对于 本质相同 的后缀（最小表示法相同），其向后转移的后缀本质必然相同.

我们需要知道每种 本质相同 的后缀有多少种情况，
因此我们可以设计如下 DP 状态：
\(f_{i,s}\) 表示第 \(i\) 位，后 \(n\) 位最小表示法的状态为 \(s\).
有如下转移，设状态 \(s\) 中有 \(m\) 个等价类：

  1. 选取在 \(s\) 中的等价类，各有一种选取方法；
  2. 选取新的等价类，有 \(26-m\) 中选取方法（注意不能让等价类个数大于 \(d\)）.

但事实上这样并不好统计，我们需要从大向小选择，通过知道后面的情况个数进行选择.
但是 DP 也是从大向小，因此我们考虑将 DP 进行反向处理，这样就能得出后面的情况个数.

考虑上面的 DP 本质上是一个有限状态自动机，从这个角度理解就会容易很多.
每个点是一个状态，每条边是一种转移，一条路径代表一条字符串.

像类似于常见字符串自动机一样统计即可.

下面分析复杂度：
我们对于每一个状态，虽然有 \(n\) 位，考虑本质上只用了 \(n-1\) 位，剩下一位其实是转移.
对于长度为 \(n-1\) 的最小表示法个数，不难发现上界就是贝尔数.
因此理论状态有 \(LB_{n-1}n\) 个，通过搜索发现实际上不到 \(10^6\) 个.

因此时间复杂度为 \(O(LB_{n-1}n^2+|\Sigma|Ln)\)，空间复杂度为 \(O(LB_{n-1}n)\).

盛大无人机表演

给出的图是一个平面图.

考虑直接进行处理，记录每条边的最初删除时间，剩下的问题就是 [NOIP 2013 提高组] 货车运输.
现在考虑如何处理每条边的删除时间.

首先，我们发现处理三维的距离并不优美，考虑进行转化：
对于两个点 \((x_0,y_0,z_0),(x_1,y_1,z_1)\)，之间的距离上限为 \(l\).

\[\sqrt{(x_0-x_1)^2+(y_0-y_1)^2+(z_0-z_1)^2}\le l \]

等价于：

\[|z_0-z_1 |\le \sqrt{l^2-(x_0-x_1)^2-(y_0-y_1)^2} \]

注意到坐标为整数，因此可以向下取整：

\[|z_0-z_1 |\le \left \lfloor \sqrt{l^2-(x_0-x_1)^2-(y_0-y_1)^2} \right \rfloor \]

因此我们只需要保证高度差小于等于一个固定的常数，记作新的 \(l\).

考虑将绝对值化开：

\[z_1-l\le z_1\le z_1+l \]

维护这两个等式即可.

发现我们还没有应用平面图的性质，现在考虑使用.
平面图有如下性质：

  1. 平面图删去一个点之后还是平面图（废话）.
  2. 平面图的边至多有 \(3n-6\) 条.

考虑第二条性质，我们不难得到一个推论：平面图中必存在一个度数小于等于 \(5\) 的点.
因此我们可以对平面图的边进行定向操作，保证每条边出度至多为 \(5\)：

  1. 每次选择一个度数小于等于 \(5\) 的点.
  2. 删去这个点，将所有相邻的边定为出边.
  3. 重复执行上述操作.

可以使用队列/栈维护，时间复杂度为 \(O(n+m)\).

下面考虑每次修改时如何维护：

  1. 对于出边，可以每次暴力查询节点，直接检验.

  2. 对于入边，可以维护两个有序集合：

    • low 用于维护 \(z_0-l\).
    • high 用于维护 \(z_0+l\).

    通过不等号对有序集合进行修改.

综合上面两种算法，可以得到均摊为 \(O((n+m+k)\log n)\) 的算法.

处理出时间后，剩下的就是 Kruskal 重构树的经典应用了.
不要写 二分+可持久化并查集.

原题

  1. 无
  2. [CQOI2015] 标识设计
  3. 无
  4. [AMPPZ 2019] The Great Drone Show

榜单

前几名都是银牌爷，还是很有差距的.

当然，这场 T2 是板子，T4 数据太水了，有些难评.

posted @ 2026-08-27 18:10  Zhou_Lemon  阅读(10)  评论(0)    收藏  举报