2026.8.22 模拟赛

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这场是 47 组的题.

	T1	T2	T3	T4
实际得分	20	0	0	60
期望得分	0	0	0	45
能力得分	100	0	0	60~100

T1 是神秘构造，T2 是一定的线性代数+神秘脑电波技巧，T3 是经典延迟钦定 DP，T4 是经典区间处理+线段树.

圆环

不妨钦定 \(a_1=m\)，考虑如下构造：
若 \(a_i\ne 2^k\)，则令 \(a_{i+1}=2^{\left \lceil \log_2 a_i \right \rceil }-a_i\).
这样 \(a_i>a_{i+1}\)，最终会变成 \(2^k\).
我们将 \(a_i\) 对称到 \(a_1\) 的另一边，中间填上 \(2^k\) 即可.

举个例子，对于 \(m=41\)：

\[41,23,9,7,1,1,1,\dots ,1,7,9,23,41 \]

这样验证即可.

正确性？不会证.

运算

对于矩阵的行列式，可以在 \(O(n^3)\) 复杂度内，使用类高斯消元计算出.
我们需要将矩阵消成上三角矩阵，行列式就是对角线乘积.

我们可以先观察最简单的矩阵，考虑 \(2^3\)：

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 2 & 2\\ 1 & 2 & 4 & 4\\ 1 & 2 & 4 & 8 \end{bmatrix} \]

消成上三角矩阵为：

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \]

我们有如下消除方法：
用第 \(n\) 行减去第 \(n-1\) 行，用第 \(n-1\) 行减去第 \(n-2\) 行，……，用第 \(2\) 行减去第 \(1\) 行.
这样是不会改变行列式而得到最终矩阵.
观察发现，此时的对角线为：

\[1,(p-1),(p-1)p,(p-1)p^2,\dots \]

因此行列式就是：

\[(p-1)^kp^{\frac{k(k-1)}{2}} \]

现在考虑更加复杂一些的情况：\(n=a^2b\)，我们可以构造这样的矩阵：
将因数这样排列：\(1,a,a^2,b,ab,a^2b\)，即看成两组：\((1,a,a^2),b(1,a,a^2)\)，这样具有递归性质.
如何证明这样交换不会使行列式改变（即证明交换次数是偶数）？
考虑行列各会交换一次，因此是偶数次.

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & a & a & 1 & a & a\\ 1 & a & a^2 & 1 & a & a^2\\ 1 & 1 & 1 & b & b & b\\ 1 & a & a & b & ab & ab\\ 1 & a & a^2 & b & ab & a^2b \end{bmatrix} \]

我们将上面的左上角 \(3\times 3\) 的矩阵看作一个单位，则有：

\[\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & b \end{bmatrix} \]

考虑将外层先消掉，之后消去内层.

通过一定的推导与扩展，我们可以得到如下式子：

\[\prod_i ((p_i-1)^{a_i}p^{\frac{a_i(a_i-1)}{2}})^{\prod _{j\ne i} (a_j+1)} \]

对指数使用前后缀积即可做到 \(O(k)\) 计算.

石柱

对于一个初始的情况，现在考虑最后的情况：
从后往前考虑，对于 \(h_i\)，若后面出现了 \(1\to h_i\)，则这个位置会变成 \(0\)，否则会变成 \(1\to h_i\) 中的 \(\operatorname{mex}\).

有了这个性质，我们可以从后向前进行 DP.
为了方便考虑，我们让每两个相同的值是不同的，最终除以 \(2^n\) 即可.
设 \(f_{i,j}\) 表示决策完第 \(i\) 个，出现了 \(1\to j\) 的方案数.

显然 \(f_{2n+1,0}=1\).
设 \(c_0\) 表示 \(i+1\) 及之后中，有多少个最终消失；
设 \(c_1\) 表示 \(i+1\) 及之后中，有多少个最终存在.

下面考虑 \(f_{i+1,j}\) 的转移：

• 位置 \(i\) 最终会消失，这说明初始 \(i\) 的高度 \(h_i\le j\).
  总共有 \(2j\) 种值，其中 \(j\) 个出现过，同时前面的 \(c_0\) 个位置也会占用，因此剩下 \(j-c_0\).
  \(f_{i,j}\gets f_{i+1,j}\times (j-c_0)\).
• 位置 \(i\) 不会消失，这说明初始 \(i\) 的高度 \(>j\).

  • 若 \(h_i>j+1\)，这一部分不好考虑，于是延迟钦定.

  • 若 \(h_i=j+1\)，但是由于后面会有没有决策的高度，考虑枚举加入 \(j+1\) 之后形成的连续高度 \(k\).
    考虑贡献系数：

    1. 选择 \(k-(j+1)\) 个位置，\(\binom{c_1-j}{k-j-1}\).
    2. 决策 \(h_i\) 的高度，总共有 \(2(k-j)\) 种，用掉 \(k-(j+1)\)，剩下 \(k-j+1\) 个.
    3. 考虑未确定的 \(k-(j+1)\) 的高度形成过程，设为 \(g_{k-j-1}\).

    \(f_{i,k}\gets f_{i+1,j}\times \binom{c_1-j}{k-j-1}\times (k-j+1)\times g_{k-j-1}\)

现在考虑如何求解 \(g_n\)：

\[g_n=\sum_{i=1}^n \binom{n-1}{i-1}\times (i+1)g_{i-1}\times g_{n-i} \]

时间复杂度是 \(O(n^3)\)，精细卡范围可以得到优秀的常数.

村庄

考虑放到序列上考虑：
钦定一条边 \((u,v),u<v\)，若区间 \((u,v)\) 中存在向区间外的连边，则说明会有交点，使用并查集维护联通块.
暴力时间复杂度为 \(O(nm)\).
其实不难发现贡献只有 \(m\) 个，使用 set 存储，可以得到 \(O(m^2)\).

一般遇到区间关系的题，有如下转化：
考虑区间的关系有三种：相离、相交、包含.
显然相离是必然存在的，我们要将相交转化成包含，或者反之.
这样只有两个种区间关系，会容易使用数据结构维护.

对于本题，设 \(a<b<c<d\)，存在有 \((a,c),(b,d)\).
不妨令边为 \((a,b),(b,c),(c,d)\)，即分解为若干互不相交的区间.

我们维护每个点上面的经过的边的数量（不包括端点）\(h_x\)，考虑每次连边 \((u,v)\) 时这样处理.

• 若 \(h_u\ne h_v\)，不妨令 \(h_u>h_v\).
  找到 \(u\) 右侧第一个 \(<h_u\) 的位置 \(t\)，这是线段的端点，将 \(u\) 与 \(t\) 所在联通块合并.
• 若 \(h_u=h_v\)，找到 \(u\) 右侧第一个 \(<h_u\) 的位置 \(t\).
  若 \(t<v\)，则将 \(t\) 与 \(u\) 合并.
  若 \(t\ge v\)，则将 \(u\) 与 \(v\) 合并.

上面寻找的过程可以使用线段树二分.
现在考虑如何合并两个联通块.

由于区间是互不相交的，因此联通块也是互不相交的.
若 \(r_x<l_y\)，则将 \((r_x,l_y)\) 贡献添加.
若区间包含，则将 \([\max(l_x,l_y),\min(r_x,r_y)]\) 贡献减去.

可以使用线段树和并查集维护，时间复杂度为 \(O((n+m)\log n)\).

原题

1. [THUPC 2026 初赛] 序列
2. 无.
3. [JOISC 2020] 最古の遺跡 3
4. Building Forest Trails