2026.8.21 模拟赛

https://oj.gxyzh.com/d/hzoj/contest/6a86e3ad51f50c2bea2523e0

这场是 xzz_cat6 出的题.

	T1	T2	T3	T4
实际得分	100	0	60	10
期望得分	100	0	60	45
能力得分	100	30~100	60~100	45

T1 是签到题（贪心+构造），T2 是数论+数位 DP，T3 是字符串，T4 是树上统计问题.

二项式定理

算是一道较为综合的题目，巧妙结合了 Lucas 定理 与 费马小定理 的性质，同时使用数位 DP 统计答案，个人感觉可以给到 蓝/紫.

首先，这个模数是比较坑的（听说这是 UKE 的建议），做了半个小时才发现不是质数.
考虑对于模数进行质因数分解：\(998244335=5\times 11\times 17\times 137\times 7793\).
注意到，这个模数分解出来的质数都是一次的，因此可以考虑求出每个质数下的答案，使用中国剩余定理合并答案.

现在我们考虑求解模数为 \(p\) 下的答案，\(p\) 为质数：

\[\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}x^i \left \lfloor \sqrt{i} \right \rfloor ^y\pmod p \]

不难发现 $\left \lfloor \sqrt{i} \right \rfloor $ 是难以处理的，因此放在最外层枚举：

\[\sum_{i=0}^{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor }i^y\sum_{l\in[i^2,\min((i+1^2)-1,n)]}\binom{n}{l}x^l\pmod p \]

显然前面枚举 $\left \lfloor \sqrt{i} \right \rfloor $ 的复杂度为 \(O(\sqrt{n})\)，因此考虑优化部分：

\[\sum_{i=L}^R\binom ni x^i\pmod p \]

我们可以使用前缀和优化，设函数 \(T(m)\)，我们需要求出：

\[T(m)=\sum_{k=0}^m \binom nk x^k\pmod p \]

对于组合数运用 Lucas 定理，对组合数进行 \(p\) 进制分解：

\[\binom nk\equiv \prod _{i=0}^ d \binom {n_i}{k_i}\pmod p \]

同理对 \(x^k\) 运用费马小定理：

\[x^k \equiv \prod_{i=0}^d x^{k_i}\pmod p \]

代入原式：

\[T(m)=\sum_{k=0}^m \prod _{i=0}^d \binom{n_i}{k_i}x^{k_i}\pmod p \]

由于注意到 \(p\) 很小，因此考虑预处理如下函数：

\[f_{n,k}=\binom nk x^k \]

\[pre_{i,t}=\sum_{j=0}^t f_{i,j} \]

考虑在 \(p\) 进制下进行数位 DP.

记 \(n\) 的 \(p\) 进制分解为 \((n_0n_1\dots n_d)_p\)，\(m\) 的 \(p\) 进制分解为 \((m_0m_1\dots m_d)_p\).

考虑从高位到低位进行 DP，因此设计如下 DP 状态：

• 设 \(dp_{0,i}\) 表示前 \(i\) 位小于 \(n\) 的总贡献.
• 设 \(dp_{1,i}\) 表示前 \(i\) 位等于 \(n\) 的总贡献.

有如下转移：

\[dp_{0,i}=dp_{0,i+1}\times pre_{n_i,n_i}+dp_{1,i+1}\times pre_{n_i,\min(n_i,m_i-1)} \]

\[dp_{1,i}=[m_i\le n_i]dp_{1,i+1}\times f_{n_i,c_i} \]

因此不难发现我们只需要预处理 \(\log_p n\) 行 \(f\) 与 \(pre\).

总复杂度为 \(O(\sqrt{n}\log_p n+\sum p\log_p n)\).

字符串

求出字符串的两层 border.

法一

进行 hash 预处理，方便判断两个子串是否相等.

考虑枚举外层：\(i: \frac{n}{2}\to 1\)，内层 border 暴力判断.

我们每次求出内层 border 的最大长度，那么对于 border 有如下性质：

在原串两侧各添加一个字符，那么 border 至多增加 2.

有了这个性质便十分容易了，直接暴力枚举即可.

时间复杂度为 \(O(n)\).

法二

我们构造如下字符串：\(T=S_1S_nS_2S_{n-1}\dots S_2S_{n-1}S_1S_n\).

即将原串反转后插入原串，xzz_cat6 表示这是一个经典的字符串构造方法.

此时，原串的两层 border 即为 \(T\) 上的两层回文前缀.

可以使用 Manacher 与 简单 DP 求解.

越界

一道比较综合的树上题，其各种做法包括：

Dsu on tree，树链剖分，点分治，虚树，边分树合并……

法一

Dsu+树剖+BIT，你看看这三个也知道这不是一般的 \(\log^3\)，个个都是小常数.

看这个式子：

\[dep_x+dep_y-dep_{lca}-dep'_{lca'} \]

现在考虑 Dsu，此时相当于枚举 \(lca\)，由于可以枚举子树，因此可以枚举 \(x\).

因此我们只需要求出：

\[\max(dep_y-dep'_{lca'}) \]

看到 \(lca\)，可以想到树剖，将 \(dep_y\) 看作权值，记作 \(a_y\).

因此可以对于 \(T'\) 进行树剖，考虑查询时会有 3 种贡献：

• 在 \(x\) 子树内.
• 在 \(x\) 的重链祖先的子树内.
• 在 \(x\) 跳链时的轻子树内.

因此考虑 3 种维护：

• 对于每一条重链，维护后缀 \(a_y\) 的最大值，可以使用 BIT.
• 对于每一条重链，维护前缀 \(a_y-dep_x\) 的最大值，可以使用 BIT.
• 对于每个节点，维护轻子树 \(a_y\) 的最大值，可以使用 堆/BIT.

因此总时间复杂度为 \(O(n\log^3 n)\).

原题

1. Xmas or Hysteria
2. 原创
3. [POI 2012] PRE-Prefixuffix
4. [CTSC2018] 暴力写挂