2026.8.15 模拟赛

https://oj.gxyzh.com/d/hzoj/contest/68ea003832e9dbaccee4ffdc

	T1	T2	T3	T4
实际得分	100	100	30	30
期望得分	100	100	30	50
能力得分	100	100	30~100	50~100

这场题没有区分度.

T1 是找规律，T2 是树剖板子（当然也可以使用神秘统计做到 \(O(1)\)），T3 是矩阵优化 DP，T4 是网络流（要将平面图转为对偶图）.

滚动雪球问题

有显然的 30 分 DP：

\[dp_n=dp_{n-1}+dp_{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor } \]

令 \(dp_1=1\)，那么 \(dp_n\) 就是答案.

我们可以将边界修改为 \(dp_0=1\)，那么 \(\frac{dp_n}2\) 就是答案，这一步方便后面的处理.

由于 \(n\le 10^{18}\)，显然需要矩阵优化.

由于数论分块的经典结论：

\[\left \lfloor \frac{n}{4} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor }{2} \right \rfloor \]

因此我们可以将 $\left \lfloor \frac{n}{2^k} \right \rfloor $ 放在一起维护，有如下矩阵：

\[\begin{bmatrix} f_x \\ f_{\left \lfloor \frac{x}{2} \right \rfloor} \\ f_{\left \lfloor \frac{x}{4} \right \rfloor} \\ \dots\\ f_{\left \lfloor \frac{x}{2^k} \right \rfloor} \\ \end{bmatrix} \]

考虑从 \(x-1\) 向 \(x\) 转移（这样可以将 \(\operatorname{lowbit}\) 相同的放在一起处理）.
记 \(\operatorname{bit}(x)=\log\operatorname{lowbit}(x)\).

现在我们要构造转移矩阵：

\[\begin{bmatrix} f_x \\ f_{\left \lfloor \frac{x}{2^1} \right \rfloor} \\ f_{\left \lfloor \frac{x}{2^2} \right \rfloor} \\ \dots\\ f_{\left \lfloor \frac{x}{2^k} \right \rfloor} \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & ? & ? & ? & ?\\ 0 & 1 & ? & ? & ?\\ 0 & 0 & 1 & ? & ?\\ 0 & 0 & 0 & 1 & ?\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_{x-1} \\ f_{\left \lfloor \frac{x-1}{2} \right \rfloor} \\ f_{\left \lfloor \frac{x-1}{4} \right \rfloor} \\ \dots\\ f_{\left \lfloor \frac{x-1}{2^k} \right \rfloor} \\ \end{bmatrix} \]

显然，若 \(\left \lfloor \frac{x-1}{2^k} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{x}{2^k} \right \rfloor\) 则直接转移，否则需要转移其他的 \(f\)，转移长度就是 \(\operatorname{bit}(x)\).

时间复杂度为 \(O(\log^4 n+q\log^3 n)\).