2026.8.10 模拟赛

https://oj.gxyzh.com/d/hzoj/contest/6a647b64ee9cc46434e795b0

	T1	T2	T3	T4
实际得分	100	0	20	0
期望得分	100	0	0	0
能力得分	100	100	30	20

爱丽丝的新运算

不难发现，将数字使用质因数分解形式表示出来，那么新运算就是作异或运算（要不然题目是什么）.

转化一下，我们对于 \(n\) 个集合，选取若干个作对称差，求得出空集的方案数.

使用线性基是显然的，设线性基大小为 \(|S|\)，那么最终答案为 \(2^{n-|S|}-1\).

注意到对于一个整数，大于 \(\sqrt{x}\) 的质因数至多有一个，因此插入线性基的复杂度为 \(\pi(\sqrt{n})^2\).

使用 bitset 优化即可.

爱丽丝的幻方

场上玩了 2.5h，未果.

场上思考：注意到最中心的点不会因为 3~6 操作而变化，考虑将最中心的点移至中心，之后就是 8 种情况的分讨.
但事实上上面是不正确的，因为移至中心这一步会有 3~6 的操作参与，而导致答案有细小误差.

考虑一件事情：对于三个不共线的点，即可确定一种变换.
因此使用一个 L 形记录一种状态，不难发现至多有 \(8n^2\) 种.

对于每一种变换，就是一种转移；我们所求的就是从一个状态使用若干步到另一个状态的最小次数.
使用 BFS 求出即可，时间复杂度为 \(O(n^2)\)，理论常数为 \(48\).

爱丽丝斗恶龙

我们需要得到一种排列，使得每个位置左右两侧满足区间和 \(<p\) 的长度最短.

贪心地想，我们不妨让大的 \(s_i\) 靠近当前位置，这样一定是不劣的；进一步地，我们让最大值在当前位置.

剩下的我们有两种情况：

1. 只阻挡一边：\(z\)；
2. 阻挡两边：\(x,y\)；

其中 \(x,y,z\) 均表示左/右边的不满足的长度，钦定 \(x+y\) 最小，\(z\) 最小.
不难发现：\(z\le \min(x,y)\).

考虑对于一种情况：左侧的长度不够 \(x\)，则不难发现，取第 1 种情况更优，因此可以直接取两种情况的 \(\max\).

考虑如何求出 \(x,y\)，\(z\) 是容易的.
对 \(s\) 排序，对于一个前缀，我们希望将其分成两部分 \(s_1,s_2\)，均满足 \(s_1,s_2\ge p\).
注意到 \(s_1+s_2\) 是定值 \(sum_i\)，那么就是求满足 \(p\le s_1\le sum_i-p\) 的 \(s_1\) 是否存在.
这里可以使用 0-1 背包 DP，使用 bitset 优化即可.

时间复杂度为 \(O(\frac{n^2}{w})\).