2026.7.25 模拟赛

https://oj.gxyzh.com/d/hzoj/contest/6a63fd34ee9cc46434e73688

	T1	T2	T3	T4
实际得分	100	0	30	10
期望得分	100	0	30	10
能力得分	100	100	30	40

T1 是简单的乱搞题，T2 是树上背包，T3 是数论+数据结构，T4 是【?】.

修改进制

需要一些人类智慧以及丁真能力.

题目要求：

\[d=\sum_{i=1}^{n}e_ib_i \]

其中 \(e_i=0/1\).

拆开 \(b_i\)，将 \(P\) 除过去有：

\[\frac{d}{P}=\sum_{i=1}^n e_i\frac{1}{a_i} \]

注意，这里有一条关键的信息：\(a_i\) 为互不相同的质数.

考虑将等式两侧化成最简分数的形式，那么右侧的分母为：

\[\prod _{i=1}^n e_ia_i \]

显然两侧的分母必然相同，将 \(d\) 与 \(P\) 进行约分，得到右侧的分母.

得到了 \(e_i\)，直接验证即可..

这里验证有三种方式：

第一种是头铁的人的做法，第二种是正常人的做法，第三种是我的做法.

1. 使用高精度模拟.
   因为 \(n\le 10^3\)，因此可以直接模拟，实现高精加/乘即可.

2. 使用哈希：具体地，选取几个大素数，计算等式两侧在模意义下的值，进行验证即可.
   甚至你可以借鉴 Hash Killer III 的思想，选取随机模数，这样便无懈可击.

3. 使用 double 类型直接模拟等式两侧.
   表面上会炸精度，但实际上由于 \(a_i\le 10^9\)，因此等式右侧数量级在 \(10^{-9}\) 到 \(10^{0}\) 之间，double 完全可以进行计算.
   对于等式左边，需要一些手法：可以通过乘一个，再除一个，这样能减少误差.

寻找小猫

场上有些降智，没有做出来（事实上本人对树上背包不太熟悉，截止 2026.7 还没有改省选 Day1 T1）.

场后看这道题其实还是比较简单的.

由于发现花费时间与搜查叶子个数紧密相关，因此要在设计 DP 状态是加入对搜查叶子个数的记录.

手模样例一，可以发现，搜查小猫可以通过排除法，但是我们发现只能有一个子树使用排除法，因此在设计状态时加入可否使用排除法.

因此有 \(dp_{u,k,0/1}\) 表示在子树 \(u\) 中，选取 \(k\) 个叶子搜查，可否使用排除法，排除搜查叶子以外的最小代价.

于是有转移：

\[dp_{u,k,0}=\min(\sum_{\sum k_i=k}dp_{s_i,k_i,0},a_u+\sum_{\sum k_i=k}\min(dp_{s_i,k_i,0/1})) \]

\[dp_{u,k,1}=\min(\sum_{\sum k_i=k}dp_{s_i,k_i,0/1})(只有一个 DP 状态为 1) \]

场上思考第二种转移，不知道如何实现，实际上就是一个二维背包.

最终答案需要加上搜查叶子的代价.

平方操作

最朴素的暴力可以拿到 20 分，特殊性质 A 可以拿到 10 分.

首先需要丁真 \(998244353\) 这个素数，考虑 \(a\) 模意义下的逆元，其实就是 \(a^{p-2}\).

于是我们可以得到：

\[\frac{1}{a^2}\equiv (a^2)^{p-2}\equiv (a^{p-2})^2\equiv (\frac 1a)^2\pmod p \]

因此只需要在最开始求一遍逆元，问题就转化成了区间平方，区间求和.

记操作次数为 \(k\)，则我们要求的就是 \(a^{2^k}\) 在模 \(p\) 意义下的值，由于扩展欧拉定理：

\[a^{k}\equiv a^{k\bmod \varphi (p)}\pmod p \]

因此考虑 \(2^k\bmod 998244352\).

场上考虑过 \(2^k\) 是否会造成循环，但是当时认为由于 \(2\) 与 \(998244352\) 不互质，没有进一步考虑.

我的OI数论物语果然有问题

如果你学过 NTT 的话，发现 \(998244353\) 这个模数真的是太熟悉了：

\[998244352 = 7\times 17 \times 2^{23} \]

由于同余式的结论：

\[ad\equiv bd\pmod{cd}\Leftrightarrow a\equiv b\pmod c \]

由于：

\[2^{k}\equiv 2^{k-\varphi(119)}\pmod {119} \]

因此：

\[2^{k}\times 2^{23}\equiv 2^{k-\varphi(119)}\times 2^{23}\pmod {998244352} \]

即当 \(k\ge 23\) 时，有：

\[2^k\equiv 2^{k+\varphi(119)}\pmod {998244342} \]

但是 \(\varphi (119)=96\)，事实上可以更小：

注意到：\(2^{24}\equiv 1\pmod {119}\)，因此：

\[2^{k}\equiv 2^{k+24}\pmod {998244352} \]

总结一下：在 \(k\le 22\) 时，\(2^k\) 是独特的；在 \(k\ge 23\) 时，\(2^{k}\) 具有循环性质，循环节为 \(24\).

这时便能上数据结构维护了：

1. 情况一，由于 \(k\le 22\)，因此可以使用势能线段树维护.
   由于这个势能线段树需要与情况二对接，因此这对于经常封装线段树的同学不太友好，
   因此本人采用并查集+树状数组维护，理论常数更小.
2. 情况二，由于有 \(24\) 的循环节，因此可以将 \(24\) 种取值进行记录，修改时直接换成下一个值.

理论上的常数为 \(22+24\)，但其实很大程度跑不满.