Ynoi 做题记录

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我是仙人掌

发现一共只有 \(n^2\) 个点对，询问时的形式类似集合并，考虑使用 bitset.

由于询问与距离有关，因此考虑将 \(x\) 与 \(dis\) 作为两个维度，bitset 维护到 \(x\) 距离小于等于 \(dis\) 的点集.

预处理时使用 BFS 直接处理，查询时暴力合并 bitset.

时间复杂度为 \(O(\frac{n^3}{w}+\sum a\frac{n}{w})\)，虽然看起来不可过，但是常数极小.

无力回天

维护 \(m\) 个集合，有集合添加，集合查询并.

我的做法

由于并集涉及元素过多，考虑使用容斥原理转化成交集.

我们发现如果暴力匹配，复杂度与集合大小相关，因此考虑离线，提前记录集合大小，考虑之后的算法.
由于元素一共只有 \(m\) 个，随着每个集合元素个数增加，集合个数减少，故考虑根号分治.
设定集合的大小阈值 \(L\)，我们考虑使用两类暴力算法：一种是直接比较，另一种使用 bitset.

1. 考虑对于集合大小小于 \(L\) 的元素，使用哈希表存储，添加 \(O(1)\).
2. 考虑对于集合大小大于 \(L\) 的元素，使用 bitset 存储，添加 \(O(1)\).

考虑查询：

• \(1\to 1\)：在哈希表中暴力查找，复杂度为 \(O(L)\).
• \(1\to 2\)：在 bitset 中暴力查找，复杂度为 \(O(L)\).
• \(2\to 2\)：暴力合并 bitset，复杂度为 \(O(\frac{m}{w})\).

时间复杂度为 \(O(m(L+\frac{m}{w}))\)，空间复杂度为 \(O(m+\frac{m^2}{Lw})\).

上面的太劣了，考虑优化.

我们没有很好利用集合大小大于 \(L\) 的集合个数只有 \(O(\frac{m}{L})\) 个.
考虑直接暴力记录 \(O(\frac{m}{L})\) 个集合之间的贡献，
在每次添加元素时，对另外 \(O(\frac{m}{L})\) 个元素暴力统计，时间复杂度为 \(O(\frac{m}{L})\).
查询时 \(O(1)\).

时间复杂度为 \(O(m(L+\frac{m}{L}))\)，空间复杂度为 \(O(m+\frac{m^2}{L^2}+\frac{m^2}{Lw})\).
取 \(L=\sqrt{m}\) 较优，由于常数原因，取 \(L=\frac 12\sqrt{m}\) 更优.

事实上还可以继续优化常数：
我们不使用哈希表存储，使用 vector 存储（由于我们已知集合大小，因此可以提前 reserve，减少常数）.
每次插入一个元素，对 vector 进行插入排序，时间复杂度为 \(O(L)\).
每次询问 \(1\to 1\) 时，由于集合时有序的，因此可以使用双指针统计，时间复杂度为 \(O(L)\).
常数大大减小.

洛谷常见做法

对值的出现次数进行根号分治：设定阈值 \(B\).
对于值出现次数大于 \(B\) 的元素，会有 \(O(\frac{m}{B})\) 个，对于每个集合维护一个 bitset 维护这些数，查询 \(O(\frac{m}{Bw})\)，修改 \(O(1)\).
对于值出现次数小于 \(B\) 的元素，统计集合之间的贡献，至多会有 \(O(mB)\) 个贡献，使用哈希表存储，查询 \(O(1)\)，修改 \(O(B)\).

取 \(b=\sqrt{\frac{m}{w}}\)，有最终时间复杂度为 \(O(m\sqrt{\frac{m}{w}})\)，空间复杂度为 \(O(m\sqrt{\frac{m}{w}})\).
但是哈希表的常数~

寒蝉鸣泣之时

看到如此简洁的矩阵问题，想到扫描线.

因此我们需要一个数据结构维护：
区间加/减 \(1\)，查询 \(O(\sqrt{n})\) 个间隔为 \(m\) 的数的个数.

显然线段树是无法同时维护下标与值域的，因此考虑分块：
不难想到：对于每一个块开一个权值数组，记录权值的个数.

修改时，对于整块，记录值域的偏移量；对于散块，暴力重构，复杂度为 \(O(\sqrt{n})\).
查询时，对于每个区间进行查询，这样复杂度为 \(O(\sqrt{n}\frac{n}{m})\)，最坏是 \(O(n)\) 的.
考虑加上如下剪枝：
记录每个块的最大值与最小值，在这个值域区间中查询.
重新计算查询复杂度：
记一个区间的值域长度为 \(L_i\)，那么此时单个块查询的数值个数为 \(\frac{L_i}m +O(1)\).
那么总单次查询复杂度为 \(O(\frac{\sum L_i}m+\sqrt{n})\).
现在考虑值域区间的变化：显然，每次整块会使值域整体偏移，不会贡献值域长度；只有散块会使值域区间长度增加，因此 \(O(\sum L_i)=O(n)\)，即单次查询复杂度为 \(O(\frac nm+\sqrt{n})\).

综上，时间复杂度为 \(O(n\sqrt{n})\).