数论小知识

下面有一些数论小知识，以优化复杂度：

• 素数计数函数：\(\pi(n)\sim \frac{n}{\ln n}\)；

• 质因子计数函数：\(\omega(n)\le \Omega(n)\le \log n\)（其中 \(\omega\) 是相异质因子个数，\(\Omega\) 是所有质因子个数）；

• 除数函数：\(d(n)\le \sqrt{n}\)，事实上这个上界是极松的；

• 在 \(10^5\) 范围内，$75600 $ 因数个数最多，有 \(120\)，远小于 \(\sqrt{75600}\)；

• 在 \(10^5\) 范围内，正整数平均因数个数是 \(11.67\).

• 在 \(10^9\) 范围内，\(735134400\) 因数个数最多，有 \(1344\)，远小于 \(\sqrt{735134400 }\)；

• 在 \(10^9\) 范围内，正整数平均因数个数是 \(20.88\).