数论基础

声明

本文使用的字母 \(p\)，默认是素数。
缺失证明：埃筛复杂度，欧拉函数积性性质，扩展欧拉定理。

小奥知识

1. 素数与合数
2. 同余
3. 整除
4. 约数与倍数
5. 公约数与公倍数
6. 互素

唯一分解定理

\[若a\in N^*，那么必有表示: \]

\[a=p_1p_2p_3...p_s \]

\[p_i\in P，在不计次序的意义下，该表示唯一。 \]

模运算

恒等式

\[a\bmod b=a-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times b \]

用于化简带有模运算的式子。

龟速乘

将乘数二进制展开，类似于快速幂。

int mul(int a,int b){
	int ans=0;
	while(b){
		if(b&1)ans=(ans+a)%p;
		a=(a+a)%p,b>>=1;
	}return ans;
}

相乘取模

直接用 __int128 就好了。

素数

素数计数函数

定义 \(\pi(x)\) 表示小于等于 \(x\) 的数中质数的个数，
随着 \(x\) 的增大，有 \(\pi(x) \approx \frac{n}{lnx}\)。
可用于计算与素数个数有关的算法的复杂度。

试除法

引理1：

\[设a\in N^*，则a至多有一个大于\sqrt{a}的质因子 \]

显然。
那么我们就可以在 \(O(\sqrt{n})\) 的时间内判断一个质数。

bool check(int x){
	if(x<2)return 0;
	for(int i=2;i*i<=x;i++)
		if(x%i==0)return 0;
	return 1;
}

埃氏筛

用于找出小于 \(n\) 的所有质数。
若一个数 \(p\) 为质数，则将 \(n\) 以内所有 \(p\) 的倍数标记为合数。
显然，素数永远不会被筛掉，合数会被其所有质因子筛一遍。
复杂度为\(O(nlognlogn)\)

证明

还不会

int prim[N],top;
bool vis[N];
for(int i=2;i<=n;i++){
	if(!vis[i])prim[++top]=i;
	else continue;
	for(int j=i*2;j<=n;j+=i)vis[j]=1;
}

欧拉筛（线性筛）

考虑这样一件事：只要让每个合数只被筛一次，就能做到 \(O(n)\) 的复杂度。
算法流程：
若 \(i\) 未被筛到，则将 \(i\) 加入质数集合(有序)；
每次 \(i\) 与质数集合中的数 \(p\) 相乘筛出合数，若 \(p|i\)，则退出筛合数的集合。

int prim[N],top;
bool vis[N];
for(int i=2;i<=n;i++){
	if(!vis[i])prim[++top]=i;
	for(int j=1;j<=top&&prim[j]*i<=n;j++){
		vis[prim[j]*i]=1;
		if(i%prim[j]==0)break;
	}
}

复杂度为\(O(n)\)

解释

结合上面的代码。

设 \(i=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_t^{k_t}\)，
则 \(prim[j]\times i=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_j^{k_j+1}...p_t^{k_t}\)，
并且有 \(k_1=k_2=...=k_{j-1}=0\)。
于是我们知道：\(prim[j]\times i\) 被它最小的质因子筛掉，因而不会被筛掉第二次，保证了复杂度。
每一次都是将质数的指数增加的过程，故而每个合数都能被筛掉，保证了正确性。

欧拉函数

同余类 & 剩余系

同余类

对非零整数 \(m\)，把全体整数分成 \(|m|\) 个两两不交的集合，且同一个集合中的任意两个数模 \(m\) 均同余，我们把这 \(|m|\) 个集合均称为模 \(m\) 的 同余类 或 剩余类。用 \(r\bmod m\) 表示含有整数 \(r\) 的模 \(m\) 的同余类。
不难证明对任意非零整数 \(m\)，上述划分方案一定存在且唯一。

剩余系

对 \(m\) 个整数 \(a_1,a_2,\dots,a_m\)，若对任意的数 \(x\)，有且仅有一个数 \(a_i\) 使得 \(x\) 与 \(a_i\) 模 \(m\) 同余，则称这 \(m\) 个整数 \(a_1,a_2,\dots,a_m\) 为模 \(m\) 的 完全剩余系，简称 剩余系。
若无特殊说明，一般我们只用最小非负剩余系：\(\left \{ 0,1,2,\dots,m-1 \right \}\)

既约剩余类

对同余类 \(r\bmod m\)，若 \((r,m)=1\)，则称该同余类为 既约同余类 或 既约剩余类。
我们把模 \(m\) 既约剩余类的个数记作 \(\varphi(m)\)，称其为 \(Euler\) 函数．

定义

定义 \(\varphi(x)\) 表示表示的是小于等于 \(n\) 和 \(n\) 互质的数的个数。

性质

1. \(\varphi(p)=p-1\)
2. \(\varphi(p^k)=(p-1)p^{k-1}\)
3. 若 \(gcd(a,b)=1\)，则\(\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\)，即欧拉函数为积性函数。

证明

1. \(1\)~\(p-1\) 均与 \(p\) 互质。
2. 仅有 \(p\) 的倍数与 \(p^k\) 不互质，\(p\) 的倍数共有 \(p^{k-1}\) 个，故 \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\)。
3. ？？？

公式

\[\varphi(n)=n\prod^{}_{p\in P,p|n}\frac{p-1}{p} \]

证明

设 \(n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\dots p_s^{k_s}\)

\[\begin{aligned} \varphi(n) &= \varphi(p_1^{k_1}p_2^{k_2}\dots p_s^{k_s})\\ &= \varphi(p_1^{k_1})\varphi(p_2^{k_2})\dots \varphi(p_s^{k_s})\\ &= (p_1-1)p_1^{k_1-1}(p_2-2)p_2^{k_2-1}\dots (p_s-s)p_s^{k_s-1}\\ &= p_1^{k_1}p_2^{k_2}\dots p_s^{k_s}\times \frac{p_1-1}{p_1}\times \frac{p_2-1}{p_2}\times \dots \frac{p_s-1}{p_s}\\ &= n\prod^{}_{p\in P,p|n}\frac{p-1}{p} \end{aligned} \]

实现

短除法求 \(\varphi(x)\)

无需多言，套用公式即可。
时间复杂度为 \(O(\sqrt{n})\)。

int euler_phi(int x){
	int ans=x;
	for(int i=2;i*i<=x;i++)
		if(x%i==0){ ans=ans/i*(i-1);
			while(x%i==0)x/=i;
		}
	if(x>2)ans=ans/x*(x-1);
	return ans;
}

线性求 \(\varphi(x)\)

分类讨论：
若 \(x\) 为素数，则\(\varphi(x)=x-1\)；
若已知 \(\varphi(x)\) 与 \(\varphi(p)\)，
若 \(p\) 为 \(x\) 的质因子，则 \(\varphi(px)=p\times x\prod^{}_{i\in P,i|x}\frac{i-1}{i}=p\times \varphi(x)\)；
若 \(p\) 不为 \(x\) 的质因子，则 \(\varphi(px)=\varphi(x)\varphi(p)\)。
综上可以求出所有小于等于 \(n\) 的欧拉函数，用线性筛即可。
时间复杂度为 \(O(n)\)。

for(int i=2;i<=n;i++){
	if(!vis[i])prim[++top]=i,phi[i]=i-1;
	for(int j=1;j<=top&&prim[j]*i<=n;j++){
		vis[prim[j]*i]=1;
		if(i%prim[j]==0){ phi[prim[j]*i]=phi[i]*prim[j]; break; }
		else phi[prim[j]*i]=phi[prim[j]]*phi[i];
	}
}

线性求 \(\varphi(x!)\)

与上类似。
已知 \(\varphi((x-1)!)\)，则 \(\varphi(x!)=\varphi((x-1)!\times x)\)，
若 \(x\in P\)，则 \(\varphi(x!)=\varphi((x-1)!\times x)=\varphi((x-1)!)\times \varphi(x)=\varphi((x-1)!)\times (x-1)\)；
若 \(x\notin P\)，则 \(\varphi(x!)=\varphi((x-1)!\times x)=x\times(x-1)!\prod^{}_{i\in P,i|(x-1)!}\frac{i-1}{i}=\varphi((x-1)!)\times x\)。
直接线性递推（可以套在线性筛里面）即可，时间复杂度为 \(O(n)\)。

fac_phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
	if(!vis[i])prim[++top]=i,fac_phi[i]=fac_phi[i-1]*(i-1)%p;
	else fac_phi[i]=fac_phi[i-1]*i%p;
	for(int j=1;j<=top&&prim[j]*i<=n;j++){
		vis[prim[j]*i]=1;
		if(i%prim[j]==0)break;
	}
}

欧拉定理 & 费马小定理

欧拉定理

\[若gcd(a,m)=1，则a^{\varphi(m)}\equiv 1(\bmod m) \]

证明

设 \(R=\left \{ r_1,r_2,r_3,\dots ,r_{\varphi(m)} \right \}\)，其中 \(gcd(r_i,m)=1\) 且 \(r_i<m\)。
\(\because gcd(a,m)=1,gcd(r_i,m)=1\)
\(\therefore gcd(a\times r_i,m)=1\)
\(\therefore a\times r_i\bmod m \in R\)。
下证 \(a\times r_i\bmod m \ne a\times r_j\bmod m\)：
假设存在，则有 \(a\times r_i\equiv a\times r_j(\bmod m)\)，
那么 \(a\equiv 0(\bmod m)\) 或 \(r_i\equiv r_j(\bmod m)\)，
显然都无解，故假设不成立，\(a\times r_i\bmod m\) 与 \(r_j\) 一一对应。
\(\Rightarrow r_1r_2r_3\dots r_{\varphi(m)}\equiv ar_1\times ar_2\times ar_3\dots \times ar_{\varphi(m)}\equiv a^{\varphi(m)}\times r_1r_2r_3\dots r_{\varphi(m)}(\bmod m)\)
\(\Rightarrow a^{\varphi(m)}\equiv 1(\bmod m)\)，得证。

费马小定理

\[\begin{aligned} &若p\in P，则a^p\equiv a(\bmod p)\\ &特别地，若gcd(a,p)=1，则a^{p-1}\equiv 1(\bmod p) \end{aligned} \]

证明

特殊情况由欧拉定理可以直接得到。
另一种情况为 \(a|p\)，显然 \(a^p\equiv 0^p\equiv 0(\bmod p)\)。
综上，得证。

扩展欧拉定理

\[a^b\equiv \begin{cases} a^{ b\bmod \varphi(m)},&gcd(a,m)=1 \\ a^{b\bmod \varphi(m)},&gcd(a,m)\ne1,b\le \varphi(m)\\ a^{b\bmod \varphi(m)+\varphi(m)},&gcd(a,m)\ne1,b>\varphi(m) \end{cases} (\bmod m) \]

证明

第一种情况：

\[\begin{aligned} a^b&\equiv a^{\left \lfloor \frac{b}{\varphi(m)} \right \rfloor \varphi(m)+b\bmod \varphi(m)}(\bmod m)\\ &\equiv (a^{\varphi(m)})^{\left \lfloor \frac{b}{\varphi(m)} \right \rfloor}\times a^{b\bmod \varphi(m)}(\bmod m)\\ &\equiv a^{b\bmod \varphi(m)}(\bmod m) \end{aligned} \]

第三种情况：

为避免分类，可以简化成这样的形式：

\[a^b\equiv a^{b\bmod \varphi(m)+\varphi(m)}(\bmod m) \]

证明

欧几里得算法

辗转相减法 & 辗转相除法

更加本质的 \(gcd\) 与 \(lcm\)

设 \(a=p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}\dots\)，\(b=p_1^{l_1}p_2^{l_2}p_3^{l_3}\dots\)。
则 \(gcd(a,b)=p_1^{min(k_1,l_1)}p_2^{min(k_2,l_2)}p_3^{min(k_3,l_3)}\dots\)；
则 \(lcm(a,b)=p_1^{max(k_1,l_1)}p_2^{max(k_2,l_2)}p_3^{max(k_3,l_3)}\dots\)。

辗转相减法 & 辗转相除法

设 \(a>b\)，则有 \(gcd(a,b)=gcd(a-b,b)=gcd(a-b,a)\)
显然，用上面的性质可以得到。

更进一步地，有 \(gcd(a,b)=gcd(a,b\bmod a)=gcd(a,a\bmod b)\)。
其实就是多次运用辗转相减法。

欧几里得算法

就是辗转相除法的代码实现：

int gcd(int a,int b){ return (!b)?a:gcd(b,a%b); }

复杂度为 \(O(logn)\)。

证明

不妨设 \(a>b\)。（\(a<b\) 的情况可以 \(O(1)\) 转化为 \(a>b\) 的情况）
若 \(a>2b\)，则 \(a\bmod b\) 减小了至少一半。
若 \(a=2b\)，则下一步即得出答案。
若 \(a<2b\)，则 \(gcd(a,b)=gcd(b,a\bmod b)=gcd(b,a-b)\)，
下一次递归即为 \(gcd(a-b,b\bmod(a-b))\)。
\(\because a<2b\)，\(\therefore a-b<\frac{a}{2}\)，减小至少一半。
综上可得复杂度为 \(O(logn)\)。

裴蜀定理

设 \(a,b\) 是不全为零的整数。那么，对于任意整数 \(x,y\)，都有 \(\gcd(a,b)\mid ax+by\) 成立；而且，存在整数 \(x,y\)，使得 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 成立。

证明

1.\(\gcd(a,b)\mid ax+by\)
\(\because \gcd(a,b)|a\)，\(\therefore \gcd(a,b)|ax\)，\(\therefore \gcd(a,b)|ax+by\)。

2.\(ax+by=\gcd(a,b)\)
证明？扩欧算法直接构造答案！

设 \(s\) 为 \(ax+by\) 最小正整数解。
设 \(a=qs+r(0\le r<s)\)

\[\begin{aligned} r &= a-qs\\ &= a-q(ax_0+by_0)\\ &= a(1-qx_0)+b(-y_0) \end{aligned} \]

即 \(r\) 亦满足 \(ax+by\) 的形式。
\(\because s\) 为最小正整数解，\(\therefore r=0\)。
\(\therefore s|a\)，同理有 \(s|b\)。
\(\Rightarrow s|\gcd(a,b)\)。
又 \(\because \gcd(a,b)|s\)，
\(\Rightarrow s=\gcd(a,b)\)

推论：存在整数 \(x,y\)，使得 \(ax+by=k\gcd(a,b)\) 成立。

扩展欧几里得算法

在求 \(\gcd\) 的过程中，求出\(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组特解。

显然 \(ax+0y=\gcd(a,b)\) 有一组解为 \((1,0)\)。
现在已知 \(bx+(a\bmod b)y=\gcd(a,b)\) 的一组解为 \((x_0,y_0)\)。
有 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组解为 \((y_0,x_0-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times y_0)\)。

证明

\[\begin{aligned} \gcd(a,b) &= bx_0+(a\bmod b)y_0\\ &= bx_0+(a-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times b)y_0\\ &= ay_0+b(x_0-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times y_0) \end{aligned} \]

int Exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){ x=1,y=0; return a; }
	int gcd=Exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x; return gcd;
}

构造通解:

\[\begin{aligned} \gcd(a,b) &= ax_0+by_0\\ &= ax_0+lcm(a,b)+by_0-lcm(a,b)\\ &= a(x_0+\frac{b}{\gcd(a,b)})+b(y_0-\frac{a}{\gcd(a,b)}) \end{aligned} \]

乘法逆元

定义

对于非零整数 \(a,m\)，如果存在 \(b\) 使得 \(ab\equiv 1\pmod m\)，就称 \(b\) 是 \(a\) 在模 \(m\) 意义下的 逆元。
将 \(b\) 记作 \(a^{-1}\)。

性质

乘法逆元用来解决除法问题。

1. \(1^{-1}=1\)
2. 逆元是唯一的。
3. \(a^{-1}\) 的逆元为 \(a\)。
4. \((ab)^{-1}=a^{-1}\times b^{-1}\)

2.证明

假设存在 \(x,y\)，使得 \(ax\equiv ay\equiv 1\pmod m\)
那么 \(a\equiv 0\pmod m\) 或 \(x\equiv y\pmod m\)，
显然都无解，故假设不成立。

费马小定理 & 欧拉定理

由欧拉定理及逆元的唯一性，知 \(a^{-1}=a^{\varphi(m)-1}\)。
特别地，若 \(m\in P\)，有 \(a^{-1}=a^{m-2}\)。
快速幂求解，时间复杂度为 \(O(logn)\)。

扩展欧几里得算法

将线性同余方程 \(ax\equiv 1\pmod m\)，
转化为 二元不定方程 \(ax+my=1\)，求解即可。
复杂度为 \(O(logn)\)。

线性逆元

当 \(m\) 为素数时可用。

\[i^{-1}\equiv -\left \lfloor \frac{p}{i} \right \rfloor \times (p\bmod i)^{-1}\pmod m \]

证明

设 \(m=ki+b,0\le b<i\)。

\[\begin{aligned} k\times i+b &\equiv 0\pmod m\\ k\times i\times i^{-1}\times b^{-1}+b\times i^{-1}\times b^{-1} &\equiv 0\pmod m\\ k\times b^{-1}+i^{-1} &\equiv 0 \pmod m\\ i^{-1} &\equiv -k\times b^{-1}\pmod m\\ i^{-1} &\equiv -\left \lfloor \frac{p}{i} \right \rfloor \times (p\bmod i)^{-1}\pmod m \end{aligned} \]

for(int i=2;i<=n;i++)
	inv[i]=1ll*(p-p/i)*inv[p%i]%p;

阶乘逆元

阶乘的逆元等于逆元的阶乘。

fac[0]=inv[0]=fac_inv[0]=1;
fac[1]=inv[1]=fac_inv[1]=1;
for(int i=2;i<p;i++)
	fac[i]=fac[i-1]*i%p,
	inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p,
	fac_inv[i]=fac_inv[i-1]*inv[i]%p;

用于求组合数。