线段树合并

概述

线段树的合并是线段树的常用技巧，常见于权值线段树维护可重集的场景。
例如，树上某些结点处有若干操作，如果需要自下而上地将子节点信息传递给亲节点，而单个结点处的信息又方便用线段树维护时，就可以应用线段树合并的技巧控制整体的复杂度。

适用范围

其实线段树合并适用范围很广，要求两颗线段树形态相同，且维护信息可以合并（如 \(sum,max\)）。
但一般用于动态开点权值线段树合并，因为两颗节点开满的线段树合并复杂度是 \(O(n)\) 的。

实现

int merge(int x,int y,int L,int R){
	if(!x||!y)return (x|y);
	if(L==R){ sum[x]+=sum[y]; return x; }
	int mid=(L+R)>>1; push_down(x),push_down(y);
	lch[x]=merge(lch[x],lch[y],L,mid);
	rch[x]=merge(rch[x],rch[y],mid+1,R);
	push_up(x); return x;
}

复杂度

动态开点权值线段树合并。
设值域为 \(W\)，共有 \(n\) 个权值，则合并总复杂度为 \(O(nlogW)\)。

证明：
设两棵线段树为 \(T_x\) 与 \(T_y\)，设其共开有 \(sum_x\) 和 \(sum_y\) 个节点。
设最终线段树为 \(T_z\)，设合并访问节点数有 \(sum_z\) 个。

\[引理1:若存在节点c在T_x而不在T_y中，则sum_x+sum_y<sum_z \]

\[引理2:若T_x与T_y形态相同，则sum_x+sum_y=sum_z \]

综合引理1与引理2可知：形态形同的线段树可以将访问次数卡满。
那么我们考虑最坏的情况：\(n\) 棵线段树开点形态完全形同。
这样相当于合并 \(n\) 条有 \(logW\) 个节点的链，总共访问 \(nlogW\) 次。

综上，动态开点权值线段树合并的复杂度为 \(nlogW\)。

树上合并

权值线段树本质上就是维护了一个可重集。
树上合并不只有树上启发式合并，还有线段树合并。

结语

线段树合并只是一种技巧，线段树合并的题还是要从线段树本身思考。