AGC054E ZigZag Break

对于原问题的操作，可以考虑倒序插入，算合法的排列个数。而由于题目保证了选择的三个元素连续，所以我们只需要按某种顺序插入，考虑插入时相邻两数的关系，而不需要考虑全局的信息。

令一开始 \(p_{1}=X,p_{n}=Y\),那么 \(X\) 与 \(Y\) 交换答案不会发生改变，所以不妨设 \(X<Y\)，那么对于 \(<X\) 元素的插入，尽量从大到小，\(>Y\) 的元素的插入，尽量从小到大，对于中间的元素，只有当两侧不分别为 \(<X\) 元素与 \(>Y\) 元素才合法。实际上我们将这 \(3\) 中元素标号为 \(A,B,C\) 那么唯一不合法的情况就是 \(AB,BA\) 中插 \(C\)，对于其他情况可以按序插入使其合法。

那么对于两个 \(A\) 或两个 \(B\) 中的元素，中间按序插入一定合法，但由于两侧分别取到 \(A,B\) 所以中间必然有一个 \(AB\) 位置，在这里插入不合法。但可以发现这样的 \(AB\) 位置只要存在一个满足中间没有元素，那么即可以合法，反之必存在一个 \(C\) 插入不了。所以原问题等价于数存在 \(AB\) 子串的序列个数

这个问题很好解决，\(ans=(n-1)!-{cnt_{A}+cnt_{C}-1\choose cnt_{C}-1}{cnt_{B}+cnt_{C}-1\choose cnt_{C}-1}cnt_{A}!cnt_{B}!cnt_{C}!\)

由于要对这个东西快速求和，\(cnt_{A}\) 是固定的，所以 \(cnt_{B}+cnt_{C}\) 是固定的，两边同时乘上 \(cnt_{A}!\) 即可转化为类似组合数列 \(k\) 次方求和的形式，转为 \((x+t)^{\overline k}\)即可快速计算。