[AHOI2014/JSOI2014]拼图

链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4039

题目描述:有一些长为\(n\)，宽为\(w_{i}\)的黑白色矩形，要将它们拼成一个\(n\times m\)的大矩形，求大矩形中最大的全白子矩形的面积的最大值。

题解：话说我一开始只会\(O(n^2m)\)，不会\(O(m^2n)\)，尽管知道这题可以根号分治都不会做。

\(n\times m<=10^5\)，这让人莫名想起CmdOI2019简单的数论题。依照那题的方法，我们可以考虑根号分治，考虑\(O(n^2m)\)与\(O(m^2n)\)两种情况。

\(O(n^2m)\):可以暴力枚举行的左右端点，对于这\(S\)个矩形，我们可将完整的白块放在中间，两边各放两个靠右边\(0\)列最多的块与靠左边\(0\)列最多的块，这样拼是最优的。

\(O(nm^2)\):记每一个点\((i,j)\)离他最近的\(1\)的行为\(up_{i,j}\)，将枚举行的左右端点时换作枚举每个点，判时判左端点为\(up_{i,j}+1\)，右端点为\(i\)的情况即可。

当然，这题有个小坑：每个矩形本身的最大的全白子矩形也要统计到达答案里。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#define inf 1e9
using namespace std;
int n,m,S,w[300001],lst[300001];
int p[300001],up[300001],sum[300001],T[300001],length;
long long ans;
char t;
int f(int l,int r)
{
	if (l==0||r==0)
		return 0;
	return (l-1)*m+r;
}
int getsum(int l,int r,int l2,int r2)
{
	return sum[f(r,r2)]-sum[f(l-1,r2)]-sum[f(r,l2-1)]+sum[f(l-1,l2-1)];
}
void solve(int l,int r)
{
	long long res=0,ll,rr,maxr=0,maxn=0,maxr2=0,maxn2=0,mixn=0,mixn2=0;
	for (int i=1;i<=S;++i)
	{
		if (getsum(l,r,lst[i-1]+1,lst[i])==0)
			res+=w[i];
		else
		{ 
			for (int j=lst[i-1]+1;j<=lst[i];++j)
				if (getsum(l,r,lst[i-1]+1,j)!=0)
				{
					if (j-lst[i-1]-1>maxn)
					{
						maxn=j-lst[i-1]-1;
						maxr=i;
					}
					else if (j-lst[i-1]-1>mixn)
						mixn=j-lst[i-1]-1;
					break;
				}
			for (int j=lst[i];j>=lst[i-1]+1;--j)
				if (getsum(l,r,j,lst[i])!=0)
				{
					if (lst[i]-j>maxn2)
					{
						maxn2=lst[i]-j;
						maxr2=i;
					}
					else if (lst[i]-j>mixn2)
						mixn2=lst[i]-j;
					break;
				}
			ll=lst[i-1]+1;
			rr=-inf;
			for (int j=lst[i-1]+1;j<=lst[i];++j)
			{
				if (getsum(l,r,j,j)==0)
					rr=j;
				else
				{
					ans=max(ans,(r-l+1)*(rr-ll+1));
					ll=j+1;
				}
			}
		}
	}
	if (maxr==maxr2)
		ans=max(ans,(res+max(mixn2+maxn,mixn+maxn2))*(r-l+1));
	else
		ans=max(ans,(res+maxn+maxn2)*(r-l+1));
	return;
}
void work()
{
	ans=length=m=0;
	scanf("%d%d",&S,&n);
	for (int i=1;i<=S;++i)
	{
		scanf("%lld",&w[i]);
		m+=w[i];
		lst[i]=lst[i-1]+w[i];
		for (int k=1;k<=n*w[i];++k)
		{
			++length;
			T[length]=0;
			while (T[length]!='0'&&T[length]!='1')
				T[length]=getchar();
		}
	}
	length=0;
	for (int i=1;i<=S;++i)
		for (int k=1;k<=n;++k)
			for (int j=lst[i-1]+1;j<=lst[i];++j)
			{
				++length;
				p[f(k,j)]=T[length]-'0'; 
			}
	int pointer;
	for (int i=1;i<=m;++i)
	{
		pointer=0;
		for (int j=1;j<=n;++j)
		{
			if (p[f(j,i)]==1)
				pointer=j;
			up[f(j,i)]=pointer;
		}
	}
	for (int i=1;i<=n;++i)
		for (int j=1;j<=m;++j)
			sum[f(i,j)]=p[f(i,j)]+sum[f(i-1,j)]+sum[f(i,j-1)]-sum[f(i-1,j-1)];
	if (n<m)
	{
		for (int i=1;i<=n;++i)
			for (int j=i;j<=n;++j)
				solve(i,j);
	}
	else
	{
		for (int i=1;i<=n;++i)
			for (int j=1;j<=m;++j)
				if (up[f(i,j)]+1<=i)
					solve(up[f(i,j)]+1,i);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return;
}
int main()
{
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while (t--)
		work();
	return 0;
}