[AHOI2014/JSOI2014]支线剧情

链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4044

题目描述:给定一个\(DAG\)，求若干条条路径，覆盖所有的点，并最小化路径的权值和。

题解：由于图是一个\(DAG\)，所以原问题可以转化为，求若干条路径，覆盖所有的边，并最小化路径的权值和。

仔细想想可以发现，其实就是求一个路径覆盖，每一条边被覆盖至少一次。这个问题可以用上下界有汇源最小费用可行流解决。

具体的，我们将每一条边设为流量上限为\(inf\)，下限为\(1\)就行了，由于图没有汇点，要将所有不为\(1\)的点向附加汇点\(t\)连边。

#include<iostream>
#include<queue>
#define inf 1e9
using namespace std;
struct node
{
	int v,nxt,data,cost;
};
node edge[1000001];
bool used[100001];
int s,t,t0,ans,n,x,y,d[100001],incf[100001],prv[100001],head[100001],dis[100001],len;
void add(int x,int y,int z,int w)
{
	edge[++len].v=y;
	edge[len].data=z;
	edge[len].cost=w;
	edge[len].nxt=head[x];
	head[x]=len;
	return;
}
bool spfa()
{
	int top;
	queue<int>q;
	q.push(s);
	incf[s]=1e9;
	for (int i=s+1;i<=t;++i)
	{
		dis[i]=1e9;
		used[i]=0;
	}
	while (!q.empty())
	{
		top=q.front();
		q.pop();
		used[top]=0;
		for (int i=head[top];i>0;i=edge[i].nxt)
			if (edge[i].data&&dis[edge[i].v]>dis[top]+edge[i].cost)
			{
				dis[edge[i].v]=dis[top]+edge[i].cost;
				prv[edge[i].v]=i;
				incf[edge[i].v]=min(incf[top],edge[i].data);
				if (!used[edge[i].v])
				{
					used[edge[i].v]=1;
					q.push(edge[i].v);
				}
			}
	}
	if (dis[t]==1e9)
		return 0;
	return 1;
}
int EK()
{
	int x=t;
	while (x!=s)
	{
		edge[prv[x]].data-=incf[t];
		edge[prv[x]^1].data+=incf[t];
		x=edge[prv[x]^1].v;
	}
	return dis[t]*incf[t];
}
int main()
{
	int x,y,z;
	len=1;
	cin>>n;
	s=0;
	t0=n+1;
	t=n+2;
	for (int i=1;i<=n;++i)
	{
		cin>>x;
		while (x--)
		{
			cin>>y>>z;
			ans+=z; 
			add(i,y,inf-1,z);
			add(y,i,0,-z);
			d[i]--;
			d[y]++;
		}
	}
	for (int i=2;i<=n;++i)
	{
		add(i,t0,inf,0);
		add(t0,i,0,0);
	}
	for (int i=1;i<=n;++i)
	{
		if (d[i]>0)
		{
			add(s,i,d[i],0);
			add(i,s,0,0);
		}
		else
		{
			add(i,t,-d[i],0);
			add(t,i,0,0);  
		}
	}
	add(t0,1,inf,0);
	add(1,t0,0,0);
	while (spfa())
		ans+=EK();
	cout<<ans<<endl;
	return 0; 
}