[JSOI2015]最大公约数

链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5502

题目描述：对于一个序列\(a\)，求\(\sum_{i=l}^{r}gcd(a_{l},....,a_r)\times (r-l+1)\)的最大值。

题解：利用"签到游戏"的知识，我们可以知道这样的\(gcd\)只有\(nlogn\)个,所以对于每一个\(l\)，我们可以在前一个段点\(r'\)的基础上，在[\(r',n\)]二分一个最小的满足\(gcd(a_{l},....,a_r)!=gcd(a_{l},....,a_r')\)的\(r\)，这样直接做是\(O(nlog_{3}n\times gcd)\)的，考虑优化。

我们可以线段树二分，这样复杂度降至\(O(nlog_{2}n\times gcd)\)了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
struct node
{
	long long l,r,data;
};
long long a[2000001],n;
node tree[2000001];
long long gcd(long long a,long long b)
{
	if (b==0)
		return a;
	return gcd(b,a%b);
}
void build(int k,int l,int r)
{
	tree[k].l=l;
	tree[k].r=r;
	int mid=(l+r)/2;
	if (l==r)
	{
		tree[k].data=a[l];
		return;
	}
	build(k*2,l,mid);
	build(k*2+1,mid+1,r);
	tree[k].data=gcd(tree[k*2].data,tree[k*2+1].data);
	return;
}
long long query(int k,int l,int r)
{
	if (tree[k].l==l&&tree[k].r==r)
		return tree[k].data;
	int mid=(tree[k].l+tree[k].r)/2;
	if (l<=mid&&r<=mid)
		return query(k*2,l,r);
	if (l>=mid+1&&r>=mid+1)
		return query(k*2+1,l,r);
	return gcd(query(k*2,l,mid),query(k*2+1,mid+1,r));
}
void add(int k,int x)
{
	if (tree[k].l==tree[k].r)
	{
		tree[k].data=0;
		return;
	}
	int mid=(tree[k].l+tree[k].r)/2;
	if (x<=mid)
	{
		add(k*2,x);
		tree[k].data=gcd(tree[k*2].data,tree[k*2+1].data);
		return;
	}
	else
	{
		add(k*2+1,x);
		tree[k].data=gcd(tree[k*2].data,tree[k*2+1].data);
		return;
	}
	return;
}
int segment_search(int k,int l,long long x,long long d)
{
	if (tree[k].l==tree[k].r)
		return tree[k].l;
	int mid=(tree[k].l+tree[k].r)/2;
	if (gcd(d,tree[k*2].data)<x&&l<=mid)
		return segment_search(k*2,l,x,d);
	else if (gcd(d,tree[k].data)<x)
		return segment_search(k*2+1,l,x,gcd(d,tree[k*2].data));
	return n+1;
}
int main()
{
	long long last,res,ans=0;
	cin>>n;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		cin>>a[i];
	build(1,1,n);
	for (int i=1;i<=n;++i)
	{
		res=a[i];
		last=0;
		for (int j=i;j<=n;j=last+1)
		{
			last=segment_search(1,i,res,0)-1;
			ans=max(ans,(last-i+1)*res);
			if (last!=n)
				res=query(1,i,last+1);
		}
		add(1,i);
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}