[IOI2019]排列鞋子

\([IOI2019]\)排列鞋子

链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5749

题目描述:
将一个序列\(A\)交换到满足对于任意的\(i(1<=i<=n/2)\)满足
\(a_{i}=-a_{i\times 2}\)且\(a_{i}<0\),求至少要交换多少次。

题解:交换多少次就等价于交换得到的排列的逆序对数量,我们可以从这构造一个这样的排列入手。

引理\(1\):每一组\(a_{i}\)相同的左脚鞋与右脚鞋匹配时,从小到大依次匹配最优。

证明:对于每一组匹配\((i,j)\),其贡献为剩余的满足\([k<=i]\)的与满足\([k<=j]\)的和。因为我们每一次一定是贪心的选取两个贡献最少的,所以每一次要求出满足
\([k<=i]+[k<=j]\)的最小\((i,j)\)。考虑反证:假设我们选取\(a_{i}\)相同的不依次匹配的数对\((i,j)\)更优,令\(a_{i}\)依次匹配时\(i\)匹配了\(t\),则\(t<=j\)。那么\([k<=i]+[k<=t]<=[k<=i]+[k<=j]\),则答案此时便的更劣了,矛盾,则该假设不成立。

引理\(2\):按照引理\(1\)匹配之后,令\(b_{i}\)表示左脚鞋\(i\)匹配的数,则以\(min(a_{i},a_{b_{i}})\)按顺序排列更优。

证明:不会,打表吧。

根据上述引理:我们可以将逆序对最小的排列求出,树状数组求该排列的逆序对即可。

#include<iostream>
#include<set>
#include<queue>
#include<algorithm> 
using namespace std;
struct node
{
	int l,r;
	bool operator < (const node &t)const
	{
		return min(l,r)<min(t.l,t.r);
	}
};
node t[1000001];
vector<int>s[1000001];
int n,a[1000001],len,d[2000001];
long long c[1000001],S,ans;
int lowbit(int x)
{
	return x&(-x);
}
void add(int x,int y)
{
	for (;x<=n;x+=lowbit(x))
		c[x]+=y;
	return;
}
long long sum(int x)
{
	S=0;
	for (;x>=1;x-=lowbit(x))
		S+=c[x];
	return S;
}
int main()
{
	cin>>n;
	n*=2;
	for (int i=1;i<=n;++i)
	{
		cin>>a[i];
		if (a[i]<0)
			s[-a[i]].push_back(i);
	}
	for (int i=n;i>=1;--i)
	{
		if (a[i]>0)
		{
			t[++len].l=s[a[i]][s[a[i]].size()-1];
			s[a[i]].pop_back();
			t[len].r=i;
		}
	}
	sort(t+1,t+n/2+1);
	for (int i=1;i<=n/2;++i)
	{
		d[i*2-1]=t[i].l;
		d[i*2]=t[i].r;
	}
	for (int i=1;i<=n;++i)
	{
		ans+=sum(n+1-d[i]);
		add(n+1-d[i],1);
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}