实数的完备性《1》

实数

<一>、实数的小数化

  为了以下讨论的需要,需要将有限小数（包括整数）*也表示成无限小数. 作以下规定：对于正有限小数（包括整数）\(x\)，当\(x=a_0.a_1a_2...a_n\),记：

\[x=a_0.a_1a_2...(a_n-1)999... \]

而当\(x=a_0\)为正整数时，则记

\[(x=a_0-1).999... \]

对于负有限小数\(y\),则先将\(-y\)表示成无限小数，在所得无限小数前加负号，例如\(-8\)记为\(-7.9999...\);同时规定\(0=0.00000...\).于是，任何实数都可以用一个确定的无限小数来表示.
  （1）实数的比较
给定两个非负实数\(x=a_0.a_1a_2a_3...a_n...,y=b_0b_1b_2...b_n...\)
若\(a_k=b_k,k=0,1,2...\),则记为\(x=y\);
若\(a_0>b_0\) 或存在非负整数\(l\)，使得\(a_k=b_k(k=0,1,...l),a_(l+1)>b_(l+1)\),则记为 \(x>y\)
对于负实数\(x,y\),若按上述规定分别有\(-x=-y\)与\(-x>-y\),则分别称\(x=y与x<y\),另外规定任何非负实数大于任何负实数.
  (2)实数比较的等价条件