CCPC Final 2021 第七届中国大学生程序设计竞赛总决赛 补题 (20250417训练)

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知识点 & 总结

• K：离散情况讨论大小关系，要考虑是 \(x \le y, x \le y-1, x < y-1\) 中的哪一种

题解

B - Shuttle Bus

• 先考虑固定 \(t = r\) 的时候怎么做：
  • 记：以 \(r\) 为根时， \(u\) 为根的子树大小为 \(s_u\)
  • 假设方案中被至少一条路径覆盖了的点集（不包含 \(r\)）为 \(S\)，此时的总步行距离为 \(\sum_{u \neq r} dis(u, r) - \sum_{u \in S} s_u\)，而前者是个与路径选取方案无关的定值，于是问题转化为最大化被路径覆盖的点的 \(\sum_{u \in S} s_u\)，记这个和为 \(X\)
  • 转化后的问题可以贪心解决，即每次加入 \(X\) 增量最大的路径，总共操作 \(k\) 次
• 考虑用数据结构维护所有路径的“增量”：观察到，当 \(t\) 变为它的一个邻居时，这些增量构成的集合只有 \(O(1)\) 个（实际上是两个）元素会发生变化；我们所需要求的是前 \(k\) 大增量的和
• 使用平衡树或者两个 STL multiset 就可以完成这些操作，复杂度为 \(O(n \log n)\)
• 代码：B

C - Selection Sort Count

• 假设伪代码中 \(i = k\) 时，在 \(j = j_1, j_2, j_3, \cdots j_{l_k}\) 进行了交换，此时序列中的 \(P_i, P_{j_1}, P_{j_2}, \cdots P_{j_{l_k}}\) 将会依次变成 \(P_{j_{l_k}}, P_i, P_{j_1}, P_{j_2}, \cdots P_{j_{l_k - 1}}\)，交换次数 \(t_k = l_k\)
• 观察发现：
  • \(i = k\) 时的 \(\{j_1 \cdots j_{l_k}\}\) 序列与 \(i = k+1\) 时相比，前者去掉 \(j_{l_k}\) 以后必然是后者的子序列
  • （猜测）反之，如果有一组满足上面条件的 \(j\) 序列，则可以唯一还原出排列 \(P\)
• 于是答案为 \(\prod_i \binom{(t_i - t_{i-1} + 1) + (t_{i-1} + 1) - 1}{(t_{i-1} + 1) - 1} = \prod_i \binom{t_i + 1}{t_{i-1}}\)（往 \(t_{i-1} + 1\) 个可以为空的盒子里放入 \((t_i - t_{i-1} + 1)\) 个球）
• 代码：C

I - Reverse LIS

• 不考虑翻转操作：
  • 假设某个上升子序列从原数组下标 \(k\) 处“隔断”，即 \(k\) 之前子序列取 0、\(k\) 之后子序列取 1，则这样上升子序列的最大长度=（k之前的0个数）+（k之后的1个数）=（1总数）+（k之前的0个数）-（k之前的1个数）
  • 于是问题转化为求一个（k之前的0个数）-（k之前的1个数）最大的前缀
  • 将0的位置赋为 \(1\)，将 1 的位置赋为 \(-1\)，问题就转化为求最大前缀和
  • 注意到 \(k\) 一定不会取在连续相同字符的中间，所以可以把连续相同的一段的 0/1 合并在一起，即 a[i] = (c[i] == '0' ? 1 : -1) * p[i]，求 a[i] 的最大前缀和
• 允许至多 \(m\) 次翻转，等价于取一段前缀、以及至多 \(m\) 段不相交的区间，最大化所取元素的和
• 对下面建图模拟费用流：每次选出最大的区间（第一次取前缀），并且将选过元素全部修改为相反数，重复操作至多 \(m\) 次
• 
• 用线段树维护即可
• 代码：
  • 普通的线段树：I1
  • 复习了一下zkw线段树：I2

K - Security Plan

• 代码：K
• 讨论如下（图中是 \(3\times 5\) 的样例）：