[数学趣味001]RSA算法原理及示例
可以先看看这个视频： RSA_Encryption_Algorithm
公开密钥
Perwork:
私钥：Sender和Receiver预先约定加密和解密方案，向其他人保密。
这个实现比较难：向其他人保密。假如你是个商家，很多人要和你联络，发送者可能和你一点关系也没有，怎么保密。
需求：Sender素不相识，发送消息需求保密，加密方案必须公开。【就和信箱一样，所有人都可以向你公开的的信箱里投信件，但是只有你才有钥匙(私有的)取信件】
公钥：加密方案向所有人公开，解密方案只有Receiver知道，对其他所有人(包括Sender),Sender和除Receiver外所有人都是平等的，【Sender把信件放入Receive信箱了，Sender就不能再看到信件内容啦】
这就要求加密很容易，但是解密很难的算法！从跳板里跳入水里容易，想跳回去就不是那么容易啦。
先用一下示例讲下流程：
1. 定义一个信息集合
Zset={0,1,2,3,...90}.
这个就是相当于26个英文字母，只要知道这26个字母，你就可以拼出任何想要的信息，只是我们把26个扩展为了91个。
2. Sender 要发送的信息为
%%现实生活中： Msg = ”晚上一起吃饭”; %%等价为信息集合里是：只要Reciver得到的内容最终为{1,2,3,4,5,6}就可以知道是现实的“晚上一起吃饭” Msg ={1,2,3,4,5,6};
这里的Msg就是一个明文。
3. Sender 把信息编码为明文后，还要进行加密！
把明文的每一个元素都映射为另一个唯一的值(密文：可以公开的值)
%%明文 Msg = {1,2,3,4,5,6}; %%使用加密：C = A^5(mod 91) %%A^5 --> NewMsg = {1,32,243,1024,3125,7776} %%mod 91 对91取余得到密文 NewMsg = {1,32,61,23,32,41};
简单来说：加密过程为：
%% 明文 公式:5次方后对91取余 密文 A -------------> A5
mod 91 -------------->C
最后的保证：A和C绝对是一对一映射关系。
Question1: 那么这个密文怎么保证不被破解呢？
我们试下从这公开的加密公式和密文反推之
可以看出，通过穷举，我们还是可以得到结果的，但这个计算次数也是指数增长的，且计算开根号得整数操作很要耗时，
一个算法最后逼得人只能用穷举来解密，那么就是成功啦，
思考：如果公式里面不是5次方，而是三位数，四位数的次方，那计算量就更大。
3 . sender把这密文发给Receiver 加密工作完成
4. 解密：Receive知道信息比Sender多的就是这个91是怎么来的，这个是关键。
4.1 91 = 7*13 (实现应用中，会设定为2个非常大的素数相乘，让Sender看不出是哪2个素数来，我们为了演示简单，假定Sender不会得到91=7*13这个结果，只有Receiver知道)
这个算法就是利用了这一点：2个素数乘积的结果很容易，但是想反过来把结果反推为哪2个素数相乘很难。所有公开密钥都是正着做容易，反过来就是很难
5d = 1+(13-1)*(7-1)*k
从以上可以“容易穷举出一个”k=2时 ：5*29 = 1+（13-1）*（7-1）*2
4.3 接着我们对密文C再乘29次方后对91取余就可以直接得到明文啦
你只要知道那个29，就可以得到破解啦！！！！！
是不是很神奇！！！！！！当然我们还是有很多迷惑的，比如：
为什么选5，91，这些数字有什么要求？接下来，我们先理一下上面的步骤:
| 步骤 | 示例 |
| 取2个大质数：p,q | p=7,q=13 |
| 密钥:n=p*q,h 是一个与(p-1)(q-1)互质的数, 公开n 和 h ,p,q不公开 | n =91，h = 5（与72互质） |
| 加密（公开）C = Ah (mod n) | A = 明文,h=5,n=91,C= 密文 |
| 解密（保密）hd = 1+(p-1)(q-1)k---->A = C d mod 91 | 5d = 1+72*k, 当k=2时，d=29成立 |
| 解密完成 | 密文乘方29 再对91取模 得到明文 |
原理证明 ：
1. 取2个很大的不相等的质数p,q ;
2. m = p*q
3. 根据欧拉函数：比m小的质数个数r = φ(N) = φ(p)*φ(q) = (p-1)*(q-1)
4. 选取一个与R互质的数e
5. 根据欧几里德(辗转相除)定理：2个互质的数一定满足：e*x – r*y =1;
6. 上式等价为： e*d – r*k = 1;
7.密文c ,明文a , 加密 a e = c (mod m);
8. 解密： c d = a (mod m),这个结论是 我们要证明的，
9. cd = ae*d = a 1+r*k =a*a r*k
所以只要证明： a*a r*k = a(mod m) ---->a r*k = 1 (mod m)
10 .根据费马小定理:
:
a r*k = (a k)r = 1 （mod m).
数学真有意思…….
