图论中的代数定理

常用于图论计数

Matrix-Tree定理

BEST定理

LGV引理

P7736 [NOI2021] 路径交点

说是LGV引理的模板

LGV引理

DAG上，从长度为\(n\)的集合\(A\)到\(B\)的不交路径数，发现和LGV很像（注意这里的不交是指不过同一结点）

又看到“偶数个交点的方案数-奇数个交点的方案数”，很像\((-1)^{\tau(P)}\)（偶数个逆序对的方案数-奇数个逆序对的方案数）,考虑找它们之间的共性

分析发现，对于两对形成逆序对的匹配，两条路径的交点一定是奇数个，否则为偶数个（原问题和LGV等价）

于是答案为\(\displaystyle \sum_P(-1)^{\tau(P)}\prod_{i=1}^nw(P_i)\)，求出\(\det M\)得解

最后就是求\(e(i,j)\)了，DP一下即可

p.s. 注意多测清空

行列式的性质

平面图

广义串并联图

平面图欧拉公式