背包问题

背包k优解

题目链接

类似次短路算法，记录前\(k\)优解，转移即可

由于一个状态只会有\(2\)个来源（\(j,j-w[i]\)），问题变成了两个单调序列的前\(k\)大问题，直接不断取队头比较即可

时间复杂度\(O(nkV)\)，我是直接暴力排序+卡常过的（别用\(STL\)，好慢）

练习

#6089. 小 Y 的背包计数问题

很妙的思路

考虑根号分治，分为 \(i\le\sqrt n\)和 \(i>\sqrt n\) 两部分，易发现分别为多重背包和完全背包

第一部分，直接多重背包单调队列优化即可，时间复杂度\(O(n\sqrt n)\)

第二部分，发现背包至多放\(\sqrt n\)个物品，那么设\(f[i][j]\)为考虑 \(i\in[1,\sqrt n]\)个数，每个数的值域为\([\sqrt n,n]\)，和为\(j\)的方案数

考虑转移，由于不考虑顺序，把这些数升序排序，那么可以通过在开头加一个\(\sqrt n+1\)或整体加\(1\)来转移（类似于球盒模型中加盒子/整体放一个球）

总体时间复杂度\(O(n\sqrt n)\)