组合数学

排列数

\[A^m_n=\frac{n!}{(n-m)!} \]

组合数

\[C^m_n=\frac{n!}{m!\ (n-m)!} \]

性质：

1. \(C^m_n=C^{n-m}_n\)

2. \(\textcolor{red}{^*} C^m_{n+1}=C^m_n + C^{m-1}_n\)

3. \(C^k_{n+m}=\sum^k_{i=0}C^i_n\times C^{k-i}_m\) (范德蒙德卷积)

Lucas定理

设 \(m=sp+a,n=tp+b\)，则

\[{n \choose m}\equiv{t \choose s}{b \choose a} \pmod p \]

递归对\(t \choose s\)处理即可，边界为\(s=0\)

适用于求 \(C^m_n\bmod p\) 时，\(n,m>p\) 的情况