群论

定义

对于集合\(G\)和二元运算\(*\)，若满足以下四个性质，则\((G,*)\)为群

1、封闭性：\(\forall a,b\in G,a*b\in G\)

2、结合律：\(\forall a,b,c\in G,(a*b)*c=a*(b*c)\)

3、单位元：存在 $ e\in G,\forall a\in G,ae=ea=a$

4、逆元：\(\forall a\in G,\)都有\(a'\in G,a*a'=a'*a=e\)

阶

群的阶：即\(G\)中元素个数，表示为\(|G|\)或\(ord(G)\)

元素的阶：使得\(a^m=e\)的最小整数\(m\)，表示为\(ord(a)\)

子群

对于群\((G,*)\)，若\(H\subseteq G\)，\((H,*)\)也是群，则\((H,*)\)为\((G,*)\)的子群

阿贝尔群

满足交换律的群

循环群

对于群\((G,*)\)，存在\(g\in G\)，使得\(G=\{g^k|k\in Z\}\)，则\((G,*)\)为循环群,\(g\)为群的生成元

性质

1、所有循环群都是阿贝尔群

2、对于\(a\in G\)，\(H=\{a^k|k\in Z\}\)，对于这样的群\((H,*)\)

都是循环群，\(a\)为该群的生成元

都是\((G,*)\)的子群，且\((G,*)\)的子群都为该形式

\(ord(H)=ord(a)\)

3、对于\(g\)生成的\(n\)阶有限循环群\((G,*)\)，\(ord(g^k)=\frac{n}{\gcd(n,k)}\)，生成元个数为\(\varphi(n)\)

证明：由阶的定义，\(e=g^{k\cdot ord(g^k)}=g^n\)，则\(n\mid k\cdot ord(g^k)\)，即\(\frac{n}{\gcd(k,n)}\mid \frac{k}{\gcd(k,n)}\cdot ord(g^k)\)，此时\(\frac{n}{\gcd(k,n)}\perp \frac{k}{\gcd(k,n)}\)，则\(ord(g^k)\)为\(\frac{n}{\gcd(k,n)}\)的倍数且最小，则\(ord(g^k)=\frac{n}{\gcd(n,k)}\)

对于\(g^k\in G\)，它为\(G\)的生成元的充要条件为\(ord(g^k)=\frac{n}{\gcd(n,k)}=n\)，则\(\gcd(k,n)=1\)，则\(k\)的数量为\(\varphi(n)\)

置换群

拉格朗日定理