网络流

网络最大流

EK

Dinic+当前弧+剪枝

Dinic：BFS分层，每次只向下一层流

当前弧：流完的边删掉

剪枝：流完的点删掉

细节

\(\textcolor{red}{*}\)加反边时反边容量为0，价值取反，不要搞混了（已经搞错3次了）

剪枝优化尽量不用，如果一定要用的话，注意\(u\to v\)边权为\(0\)不要操作（调用DFS和dis[v]=INF），亲测会死循环

费用流（最小权最大流）

EK+SPFA

在残量网络中找一条增广路，使得该增广路单位费用最小

即把最大流的\(EK\)算法中随便找一条路变成找一条最短路

Dinic+PD+dijkstra

人话：用Johnson算法的方法处理负权边（原始对偶算法），然后跑dij，在最短路DAG上跑Dinic

在边权较小时优势尤为明显

细节

不需要再次BFS分层，直接根据dis[v]==dis[x]+e[i].dis转移即可

与普通Dinic不同的地方：需要加vis[]打标记，防止进入环（为什么进环会死循环？

核心代码

int Dfs(int x,int sum) {
	if(x==t) return sum;
	int fl=0;
	vis[x]=1;
	for(int i=rad[x];i;i=e[i].next) {
		int v=e[i].to;
		rad[x]=i;
		if(dis[v]==dis[x]+e[i].c&&e[i].w&&!vis[v]) {
			int tp=Dfs(v,min(sum,e[i].w));
			fl+=tp; sum-=tp; ansc+=tp*e[i].c;
			e[i].w-=tp; e[i^1].w+=tp;
			if(!sum) break;
		}
	}
	vis[x]=0;
	return fl;
}

费用流的凸性

最小费用可行流

题目

P5814 [CTSC2001] 终极情报网

题意有点小问题，但是其实是简单费用流

取\(log\)化乘为加即可

p.s. 在松弛时，边权的判断要变成\(dis[v]+eps<dis[x]+e[i].w\)，否则说是会把\(0\)环判成负环一直跑（why）

模拟费用流

上下界网络流

无源汇上下界可行流

考虑转化为一般的网络流问题（即消除下界），考虑直接先把每条边的流量下界流走，限制转换成\([0,R_i-L_i]\)。但此时点的流量不守恒，考虑用源汇点调整

对于多余/亏欠的流量，向\(S/T\)连权值为\(|W_i|\)边（这里的理解是，这些流量本不应存在，相当于我们为这些流量找了一个“借口”，即从源点来的/到汇点去的，使得这个流合理地存在，而不是理解为“拿源点的流量把它填到0”），此时跑最大流（易知S,T连边的流量相同），如果满流，则调整合法，流量守恒

有源汇上下界可行流

源汇点流量不守恒，但是如果把源汇点“合并”，那这个点就满足流量守恒

做法是连一条\((T,S,0,INF)\)的边，使\(T\)的出流来到\(S\)，然后就可以跑无源汇上下界可行流了

有源汇上下界最大流

考虑可行流，满足所有流图的限制，但是会有边没跑满

直接在可行流的基础上，在原图的残量网络上跑最大流即可

p.s. 可以直接简单修改可行流跑的图（改源汇，删\(T\to S\)），不必手动还原（如何还原？）

线性规划