tarjan算法

强连通分量

细节

对于多点跑tarjan来说，可能会有先访问\(u\to v\)中的\(v\)，这导致\(dfn[v]<dfn[x]\)，后面\(x\)跑tarjan时会误把\(v\)当成祖先，要加判断

割点 & 割边

删去后使图不连通的点/边

找割边和强连通分量求法大差不差，这里不再赘述

找割点不同于前两者，首先割点不是low[x]==dfn[x]的点，而是存在树边连接的儿子low[v]>=dfn[x]的点，其次树根要特判

无向图连通分量

定义

边双：对于一个边双连通图，图上任意两点都有至少两条边不相交的道路（包括孤立点）

点双：对于一个点双连通图，图上任意两点都有至少两条点不相交的道路（包括孤立点）

其实这两种唯一的差别在于点双包含一种特殊情况——“杠铃形”子图，即两点有且仅有一条边相连，且该边为割边

由此引出另一个弱化的定义：

边双：不存在割边的连通图（包括孤立点）

点双：不存在割点的连通图（包括孤立点和“杠铃形”）

发现后面两个定义更易实现

细节

两者的实现有差别

边双更好理解，因为把所有割边去掉就得到所有边双，于是在tarjan找割边时顺便退出即可

点双不太一样，利用了点双的一些性质：

1、所有边在且仅在一个点双上；

2、两个点双间一定以割点分隔；

考虑在割点处进行统计，在判low[v]>=dfn[x]后即可弹栈获取v所在点双，注意不要把割点给弹了

还有一件事：点双弹栈是以v为分界点的，不是x，栈内x，v之间可能有别的儿子

代码

边双：

void tarjan(int x,int pre) {
	dfn[x]=low[x]=++index;
	st[++stpos]=x;
	erg(x,i) {
		int v=e[i].to;
		if(i==(pre^1)) continue;
		if(!dfn[v]) {
			tarjan(v,i);
			low[x]=min(low[x],low[v]);
		}
		low[x]=min(low[x],dfn[v]);
	}
	if(low[x]==dfn[x]) {
		stot++;
		while(st[stpos+1]!=x) scc[stot].push_back(st[stpos--]);
	}
}

点双：

void tarjan(int x,int pre) {
	dfn[x]=low[x]=++index;
	st[++stpos]=x;
	int son=0;
	erg(x,i) {
		int v=e[i].to;
		if(i==(pre^1)) continue;
		if(!dfn[v]) {
			tarjan(v,i);
			low[x]=min(low[x],low[v]);
			++son;
			if(low[v]>=dfn[x]) {
				++stot;
				while(st[stpos+1]!=v) 	//注意边界
					scc[stot].push_back(st[stpos--]);
				scc[stot].push_back(x);
			}
		}
		else low[x]=min(low[x],dfn[v]);
	}
	if(rt==x&&!son) {	//特判孤立点
		scc[++stot].push_back(st[stpos]);
	}
}