二分图

二分图染色判定

二分图最大匹配

性质

匹配必须点：即所有最大匹配中都匹配的点（删除该点最大匹配数有变）

非匹配必须点：同理

关于必须点与非必须点的性质：

1、与非必须点相连的点一定是必须点

易证，若为非必须点，则这两点可以相配，不符合最大匹配定义

2、未匹配点一定是非必须点

通过DFS可以在已知最大匹配方案的情况下\(O(n)\)求出所有非必须点

即从未匹配点出发，找该点连接的必须点，它的配点也是非必须点（可被出发点替换），然后把这个配点当作未匹配点（即用出发点强行替换），作为新的出发点继续搜

匈牙利算法

网络最大流

模型

行列匹配

P1129 [ZJOI2007] 矩阵游戏

行和列连边，然后跑二分图匹配即可

关键在于无论行、列怎么交换，相对位置是不变的（在二分图上表现为两点互换link）

网格图

染色发现符合二分图结构

按染色结果交叉分成两边即可

二分图最大权匹配

费用流

二分图最大权完美匹配

最小路径覆盖

最小可交路径覆盖

二分图博弈

即两人轮流选取与当前点相连的点，无法操作的人败

若二分图存在完美匹配，则后手必胜（易证）

否则，先手从非必须点出发必胜（具体分析）