决策单调优化动态规划

四边形不等式

决策单调

即对于dp方程\(f[i]=min/max(f[j]+w(j+1,i))\)，设\(f[i]\)从\(pre[i]\)转移，有$\forall\ i>j,pre[i] \le pre[j] $

写出\(pre[]\)就是大概这种效果：

111111224444444446666

可以观察到决策单增，那么对于有序表，可以想到利用二分或分治等\(O(logn)\)的算法来优化转移，从而达到\(O(nlogn)\)的时间复杂度

一个重要的证明决策单调的方法就是四边形不等式

（当然，考场上可以感性分析或打个表）

二分+栈

由于决策单调，故相同决策点都是相连的，可以通过二分+栈来维护这些区间

我们反向考虑：分析一个点\(i\)最多能更新到那些点，顺序枚举\(i\)

那么就在二分找第一个从\(i\)转移能够最优的点，往后的区间都是以\(i\)转移为优

当然，如果区间\(i\)完全覆盖了前面的某个区间\(j\)（在\(j\)左端点仍是决策\(i\)更优），就从栈中弹出\(j\)

注意：这种方法要求转移要高效，即w(j,i)要支持预处理或本身较快

分治

挺新的思路

由于决策单调，\(pre[i]\)随\(i\)单调而单调，用类二分的思路

设\(Solve(l,r,sl,sr,k)\)为划分第k段，当前处理\(f[l]\)~\(f[r]\)，它们可能从\(f[sl]\)~\(f[sr]\)转移

取区间\(mid\)，如果\(f[mid]\)从\(f[sm]\)转移，那么\(f[l]\)~\(f[mid]\)就是从\(f[sl]\)~\(f[sm]\)转移，\(f[mid]\)~\(f[r]\)就是从\(f[sm]\)~\(f[sr]\)转移

出现子问题，支持分治

分治的一个优势在于：贡献区间连续（从\([sl,sr]\)到\([sl,sm]\)，\([sm,sr]\)），这意味着即使贡献难以预处理，也可以通过莫队优化，使得贡献计算时间正确