差分约束算法

[P5960]【模板】差分约束算法

给出一组包含 \(m\) 个不等式，有 \(n\) 个未知数的形如：

\[\begin{cases} x_{c_1}-x_{c'_1}\leq y_1 \\x_{c_2}-x_{c'_2} \leq y_2 \\ \cdots\\ x_{c_m} - x_{c'_m}\leq y_m\end{cases} \]

的不等式组，求任意一组满足这个不等式组的解。

三角形不等式

最短路松弛边时，都有这样的代码：

if(dis[v]>dis[u]+e[i].dis)
	dis[v]=dis[u]+e[i].dis;

松弛后的边即可构成三角形不等式：

\[dis[v] \le dis[u]+e[i].dis \]

差分约束

对于多个含两个未知量的不等式，可转换成三角形不等式，并向图中加这样一条边，那么对所有不等式都满足即为所有边都是松弛的，可用最短路求解。

1、由于未知源点（或有可能多源点），考虑建超级源点，与所有点连边权为0的边（抽象过来就是取一些未知量为0）；

2、有可能要判负环；

P7515 [省选联考 2021 A 卷] 矩阵游戏

，我们可以从中抽象出方程组：

\[\begin{cases} a_{1,1}+a_{1,2}+a_{2,1}+a_{2,2}= b_{1,1} \\ a_{1,2}+a_{1,3}+a_{2,2}+a_{2,3}= b_{1,2}\\ \cdots\\a_{i,j}+a_{i,j+1}+a_{i+1,j}+a_{i+1,j+1}= b_{i,j} \\ \cdots \end{cases} \]

直接高斯消元肯定不行，题意为构造一组a数组满足条件，考虑差分约束，不过元太多需要变化

在做\(m=2\)时，每行2个数看成一个，仅需枚举第一个；枚举时发现：第一行加一，第二行就减一，第三行就加一……通过这种方法可以从任意一种方案转移至合法方案（如何证明？）

对其进行拓展，发现只要第一行和第一列确定，整个矩阵就确定了，对每一行、每一列都可以有独立的+k、-k、……变换，于是将每行、每列的变换记作\(r_1,r_2,r_3,...,c_1,c_2,c_3,...\)，则对于\(a_{i,j}\)的变换\(d_{i,j}\)为\(\pm r_i\pm c_j\)（详情看这里），此时想要\(a_{i,j}\)变换后合法，则有\(-a_{i,j} \le d_{i,j} \le MAXN-a_{i,j}\)

用差分约束求出一组\(r_i,c_i\)即可

p.s. 这说不定是构造题的一个思路