前缀和 & 差分

前缀和

背包问题

对于一个背包问题，有\(q\)个询问，求第\(i\)个物品一定不取时的最大价值。

思路：

1、当\(i=n\)时，只做1~i-1的背包即可；

2、当\(i=1\)时，考虑翻转背包，变成情况1；

3、一般情况下，考虑对每个点做前后缀背包，然后\(O(n)\)合并即可（合并方法类似廊桥）；

二维前缀和

方法1：容斥原理

for (int i = 1; i <= n; i ++)
    for (int j = 1; j <= n; j ++)
        s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];

方法2：先做一维，再拓展

for (int i = 1; i <= n; i ++)
    for (int j = 1; j <= n; j ++) s[i][j] = s[i][j - 1] + a[i][j];
for (int j = 1; j <= n; j ++)
    for (int i = 1; i <= n; i ++) s[i][j] += s[i - 1][j];

两种方法复杂度都为\(O(n^2)\) ，但也有差别。

在k维前缀和中，方法1时间复杂度为\(O(2^kn^k)\)，而方法2为\(O(kn^k)\)，因此在求高维前缀和时用方法2。

方法2又为sos dp的本质

差分

树上差分