P4778 Counting Swaps题解

感谢洛谷上这一篇题解对我的启发，本文也可看作是对其的补充说明

对通项\(f_n=n^{n-2}\)的证明

本题前面的思考过程其他题解已经解释的很详尽了，这里主要解释下通项公式的推导

从结论看，我们发现这个式子与有标号无根树的个数相同，于是我们尝试在操作方案与有标号无根树之间建立双射

设环的节点数为\(n\)，一开始，树\(T\)中仅有\(n\)个点，当我们交换\(x, y\)时，就在\(T\)中加入一条边\((x, y)\)，那么进行完\(n-1\)次
操作后，我们便可以得到一颗无根树\(T\)，证明只需简单归纳一下即可

但是，两个操作顺序不同的交换方案会得到同一棵树，如（因为此题中排序与环上交换是等价的，此处用序列排序的方式举例）

\[2341 \xrightarrow{\text{swap} (1, 3)} 2143 \xrightarrow{\text{swap} (1, 2)} 1243 \xrightarrow{\text{swap} (3, 4)} 1234 \\ 2341 \xrightarrow{\text{swap} (1, 3)} 2143 \xrightarrow{\text{swap} (3, 4)} 2134 \xrightarrow{\text{swap} (1, 2)} 1234 \]

两种方案都会得到下面的树

因此，我们发现树的边是有顺序的，那么，这样的树共有\(n^{n-2}(n-1)!\)种，但是，合法的操作并不能得到所有的树。

这时，我们反过来考虑，如果我们按照一棵树边的顺序执行交换操作，那么我们是不是一定能得到一个环呢？
答案是肯定的，当树中仅有两个节点时，即仅有一条边时，命题显然成立，用归纳法，假设节点个数为\(1\sim k-1\)时命题成立
节点数为\(k\)时，我们可以在树中任选一条边作为最后交换的点对（数对）那么删去它后，树会变成两棵，根据假设，这两棵树的操作顺序是任意的，当两棵树分别交换完之后，我们再交换最开始选的一对点，他们一定分别在两个环中，则交换后一定能形成一个大环

所以，这\(n^{n-2}(n-1)!\)棵树每一棵对应的操作都能将\(n\)个自环变为一个大环。
但是，这个大环不一定是我们需要的。
我们的目标是\(1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow \cdots \rightarrow n-1 \rightarrow n \rightarrow 1\)，即按递增的顺序构成一个环。
但是有些树并不一定得到它，而这些不同环的数目应该等于\(n\)个数的圆排列个数，即\((n-1)!\)
显然，每个环变成自环的方案数是相同的，与环上数的顺序无关，故其中一个环的方案数为\(\frac{n^{n-2}(n-1)!}{(n-1)!}=n^{n-2}\)

于是，就有\(f_n=n^{n-2}\)