莫队浅记

莫队 （离线算法）

• 普通莫队

问题：给出一个序列和若干查询 \(l, r\)，问 \([l, r]\) 中有多少个不同的数。

排序方式

1. 对于区间 \([l,r]\) ， 以 \(l\) 所在块的编号为第一关键字， \(r\) 为第二关键字从小到大排序

\(O(n sqrt(n))\)

bool cmp(const Node&a,const Node&b)
{
	if(a.l/blo==b.l/blo) return a.r<b.r;
	else return a.l<b.l;
}

2. 奇偶化排序 ： 对于编号为奇数的块， 令 \(r\) 从小到大排序，对于编号为偶数的块，令 \(r\) 从大到小排序。

当指针 \(r\) 处理完奇数块的问题后，一般情况下会在数组靠末尾的地方，在返回 \(1\) 的途中可以处理偶数块的问题，然后再向 \(n\) 移动处理下一个奇数块的问题。这么做可以优化 \(r\) 指针的移动次数。

\(O(n sqrt(n))\) ，但一般能使程序快30%左右

bool cmp(const Node&a,const Node&b)
{
	if(a.l/blo!=b.l/blo) return a.l<b.l;
	if((a.l/blo)&1) return a.r<b.r;
	else return a.r>b.r;
}

这里 \(blo\) 的大小都取 \(sqrt(n)\) ，理论上取 \(n/sqrt(m)\) 最优

• 带修莫队

一般只支持单点修改。

P1903 [国家集训队] 数颜色 / 维护队列
https://www.luogu.com.cn/problem/P1903

这里块大小取 \(n^{2/3}\) 时理论复杂度最优。

• 树上莫队

法一：将树转化成欧拉序，然后就可以直接在欧拉序（括号序）上跑莫队。

对于一棵节点数为 \(n\) 的树，它的欧拉序为一个长度为 \(2n\) 的序列，记录了对这棵树 \(dfs\) 时一个点 “入搜索栈的时间戳”（记为 \(st_i\) ） 与 “出搜索栈的时间戳”（记为 \(ed_i\) ） ，以及每个时间戳的对应点（记为 \(lis\) ）。

树的欧拉序上两个相同编号（设为 \(x\) ）之间的所有编号都出现两次，且都位于 \(x\) 子树上。

当询问为一条路径的时候（假设路径两端点为 \(( u , v)\) ）

1. 当 \(u\) 为 \(v\) 的祖先时（前提 \(st_u < st_v\) ）：

那么就可以直接在 \(lis\) 上跑区间询问为 \([\ st_u , st_v\ ]\) 的莫队，发现其中属于路径的点只遍历了一次，不属于路径的点遍历了两次，这启示我们可以将不在路径上的点利用两次遍历将贡献抵消，我们可以直接在当前点未出现时 \(Add\) ，当前点出现过时 \(Del\) 。

2. 当 \(u\) ，\(v\) 没有祖孙关系时（前提 \(st_u < st_v\) ）：

那么我们可以在 \(lis\) 上跑区间询问为 \([\ ed_u , st_v\ ]\) 的莫队，其中非路径上的点都会遍历两次被抵消，只有路径上的点只会被遍历一次。但是可以发现，此时 \(LCA(u,v)\) 并不会被遍历到，那么我们就要对 \(LCA(u,v)\) 进行 \(Add\) 操作，当前询问的答案记录完毕后再将 \(LCA(u,v)\) 进行 \(Del\) 操作（因为此时我们维护的只是 \(lis\) 上区间的贡献，而 \(LCA(u,v)\) 并不在 \(lis\) 上的区间内）

当询问为一颗子树时（假设询问的是 \(u\) 的子树）：

此时可以在 \(lis\) 上跑区间询问为 \([\ st_u , ed_u\ ]\) 的莫队，发现 \(u\) 的每一个子树节点都会被找到两次，此时我们并不想让它们抵消，那么我们可以都将其进行 \(Add\) 操作（跳出区间就用 \(Del\) 操作），注意记录答案的时候要根据实际情况对某些值 \(\times2\) 或 $/2 $

法二：将树进行若干个块，具体操作如 P2325 [SCOI2005]王室联邦 ，这里不展开详讲。

• 回滚莫队

当 \(Add\) 操作时间复杂度非常小、 \(Del\) 操作时间复杂度非常大（或无法实现）时，就可以利用回滚莫队，只对区间进行 \(Add\) 操作，然后根据具体情况将两个指针直接改到某个位置。同理也可以对区间只进行 \(Del\) 操作。这里不详讲（我也不会）。

• 二次离线莫队

当 \(Add\) 与 \(Del\) 的操作数时间复杂度非常大时，就可以利用二次离线莫队来降低复杂度，至于详细的，我不会，不讲。

注意：

1. 先 \(Add\) 后 \(Del\) 好习惯。

2. 注意是否以及给 blo 赋值

3. 带修莫队的块大小切记赋为 \(n^{2/3}\)