克罗内克积 (Kronecker积)
\(\textbf{Kronecker}\)积也称为克罗内克积, 是一种特殊的矩阵运算, 简单来说就是两个矩阵 "相乘" 结合为一个更大的矩阵.
对于矩阵\(A\)和\(B\), 若\(A\)为\(m \times n\)维度的矩阵, \(B\)为\(p \times q\)的矩阵, 则他们的Kronecker积, 记作: \(A \otimes B\)是一个\(mp \times nq\)维度的大矩阵.
例如:
矩阵
\[A =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{bmatrix}
\]
\[B =
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22} \\
\end{bmatrix}
\]
则
\[A \otimes B =
\begin{bmatrix}
a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12} & a_{12}b_{11} & a_{12}b_{12} \\
a_{11}b_{21} & a_{11}b_{22} & a_{12}b_{21} & a_{12}b_{22} \\
a_{21}b_{11} & a_{21}b_{12} & a_{22}b_{11} & a_{22}b_{12} \\
a_{21}b_{21} & a_{21}b_{22} & a_{22}b_{21} & a_{22}b_{22}
\end{bmatrix}
\]
每个\(A\)矩阵的元素都会乘以\(B\)矩阵，生成一个对应大小的子矩阵，最后组合成一个更大的矩阵。
克罗内克积的结果维度是 $ (m \times p) \times (n \times q) $，维度很大。
