主成分分析

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主成分分析

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引言

主成分分析（PCA）是一种能够极大提升无监督特征学习速度的数据降维算法。更重要的是，理解PCA算法，对实现白化算法有很大的帮助，很多算法都先用白化算法作预处理步骤。

假设你使用图像来训练算法，因为图像中相邻的像素高度相关，输入数据是有一定冗余的。具体来说，假如我们正在训练的16x16灰度值图像，记为一个256维向量 $\textstyle x \in \Re^{256}$ ，其中特征值 $\textstyle x_j$ 对应每个像素的亮度值。由于相邻像素间的相关性，PCA算法可以将输入向量转换为一个维数低很多的近似向量，而且误差非常小。

实例和数学背景

在我们的实例中，使用的输入数据集表示为 $\textstyle \{x^{(1)}, x^{(2)}, \ldots, x^{(m)}\}$ ，维度 $\textstyle n=2$ 即 $\textstyle x^{(i)} \in \Re^2$ 。假设我们想把数据从2维降到1维。（在实际应用中，我们也许需要把数据从256维降到50维；在这里使用低维数据，主要是为了更好地可视化算法的行为）。下图是我们的数据集：

这些数据已经进行了预处理，使得每个特征 $\textstyle x_1$ 和 $\textstyle x_2$ 具有相同的均值（零）和方差。

为方便展示，根据 $\textstyle x_1$ 值的大小，我们将每个点分别涂上了三种颜色之一，但该颜色并不用于算法而仅用于图解。

PCA算法将寻找一个低维空间来投影我们的数据。从下图中可以看出， $\textstyle u_1$ 是数据变化的主方向，而 $\textstyle u_2$ 是次方向。

也就是说，数据在 $\textstyle u_1$ 方向上的变化要比在 $\textstyle u_2$ 方向上大。为更形式化地找出方向 $\textstyle u_1$ 和 $\textstyle u_2$ ，我们首先计算出矩阵 $\textstyle \Sigma$ ，如下所示：

$\begin{align} \Sigma = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (x^{(i)})(x^{(i)})^T. \end{align}$

假设 $\textstyle x$ 的均值为零，那么 $\textstyle \Sigma$ 就是x的协方差矩阵。（符号 $\textstyle \Sigma$ ，读"Sigma"，是协方差矩阵的标准符号。虽然看起来与求和符号 $\sum_{i=1}^n i$ 比较像，但它们其实是两个不同的概念。）

可以证明，数据变化的主方向 $\textstyle u_1$ 就是协方差矩阵 $\textstyle \Sigma$ 的主特征向量，而 $\textstyle u_2$ 是次特征向量。

注：如果你对如何得到这个结果的具体数学推导过程感兴趣，可以参看CS229（机器学习）PCA部分的课件（链接在本页底部）。但如果仅仅是想跟上本课，可以不必如此。

你可以通过标准的数值线性代数运算软件求得特征向量（见实现说明）.我们先计算出协方差矩阵 $\textstyle \Sigma$ 的特征向量，按列排放，而组成矩阵 $\textstyle U$ ：

$\begin{align} U = \begin{bmatrix} | & | & & | \\ u_1 & u_2 & \cdots & u_n \\ | & | & & | \end{bmatrix} \end{align}$

此处， $\textstyle u_1$ 是主特征向量（对应最大的特征值）， $\textstyle u_2$ 是次特征向量。以此类推，另记 $\textstyle \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ 为相应的特征值。

在本例中，向量 $\textstyle u_1$ 和 $\textstyle u_2$ 构成了一个新基，可以用来表示数据。令 $\textstyle x \in \Re^2$ 为训练样本，那么 $\textstyle u_1^Tx$ 就是样本点 $\textstyle x$ 在维度 $\textstyle u_1$ 上的投影的长度（幅值）。同样的， $\textstyle u_2^Tx$ 是 $\textstyle x$ 投影到 $\textstyle u_2$ 维度上的幅值。

旋转数据

至此，我们可以把 $\textstyle x$ 用 $\textstyle (u_1, u_2)$ 基表达为：

$\begin{align} x_{\rm rot} = U^Tx = \begin{bmatrix} u_1^Tx \\ u_2^Tx \end{bmatrix} \end{align}$

（下标“rot”来源于单词“rotation”，意指这是原数据经过旋转（也可以说成映射）后得到的结果）

对数据集中的每个样本 $\textstyle i$ 分别进行旋转： $\textstyle x_{\rm rot}^{(i)} = U^Tx^{(i)}$ for every $\textstyle i$ ，然后把变换后的数据 $\textstyle x_{\rm rot}$ 显示在坐标图上，可得：

这就是把训练数据集旋转到 $\textstyle u_1$ ， $\textstyle u_2$ 基后的结果。一般而言，运算 $\textstyle U^Tx$ 表示旋转到基 $\textstyle u_1$ , $\textstyle u_2$ , ..., $\textstyle u_n$ 之上的训练数据。矩阵 $\textstyle U$ 有正交性，即满足 $\textstyle U^TU = UU^T = I$ ，所以若想将旋转后的向量 $\textstyle x_{\rm rot}$ 还原为原始数据 $\textstyle x$ ，将其左乘矩阵 $\textstyle U$ 即可： $\textstyle x=U x_{\rm rot}$ , 验算一下： $\textstyle U x_{\rm rot} = UU^T x = x$ .

数据降维

数据的主方向就是旋转数据的第一维 $\textstyle x_{{\rm rot},1}$ 。因此，若想把这数据降到一维，可令：

$\begin{align} \tilde{x}^{(i)} = x_{{\rm rot},1}^{(i)} = u_1^Tx^{(i)} \in \Re. \end{align}$

更一般的，假如想把数据 $\textstyle x \in \Re^n$ 降到 $\textstyle k$ 维表示 $\textstyle \tilde{x} \in \Re^k$ （令 $\textstyle k < n$ ）,只需选取 $\textstyle x_{\rm rot}$ 的前 $\textstyle k$ 个成分，分别对应前 $\textstyle k$ 个数据变化的主方向。

PCA的另外一种解释是： $\textstyle x_{\rm rot}$ 是一个 $\textstyle n$ 维向量，其中前几个成分可能比较大（例如，上例中大部分样本第一个成分 $\textstyle x_{{\rm rot},1}^{(i)} = u_1^Tx^{(i)}$ 的取值相对较大），而后面成分可能会比较小（例如，上例中大部分样本的 $\textstyle x_{{\rm rot},2}^{(i)} = u_2^Tx^{(i)}$ 较小）。

PCA算法做的其实就是丢弃 $\textstyle x_{\rm rot}$ 中后面（取值较小）的成分，就是将这些成分的值近似为零。具体的说，设 $\textstyle \tilde{x}$ 是 $\textstyle x_{{\rm rot}}$ 的近似表示，那么将 $\textstyle x_{{\rm rot}}$ 除了前 $\textstyle k$ 个成分外，其余全赋值为零，就得到：

$\begin{align} \tilde{x} = \begin{bmatrix} x_{{\rm rot},1} \\ \vdots \\ x_{{\rm rot},k} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} x_{{\rm rot},1} \\ \vdots \\ x_{{\rm rot},k} \\ x_{{\rm rot},k+1} \\ \vdots \\ x_{{\rm rot},n} \end{bmatrix} = x_{\rm rot} \end{align}$

在本例中，可得 $\textstyle \tilde{x}$ 的点图如下（取 $\textstyle n=2, k=1$ ）：

然而，由于上面 $\textstyle \tilde{x}$ 的后 $\textstyle n-k$ 项均为零，没必要把这些零项保留下来。所以，我们仅用前 $\textstyle k$ 个（非零）成分来定义 $\textstyle k$ 维向量 $\textstyle \tilde{x}$ 。

这也解释了我们为什么会以 $\textstyle u_1, u_2, \ldots, u_n$ 为基来表示数据：要决定保留哪些成分变得很简单，只需取前 $\textstyle k$ 个成分即可。这时也可以说，我们“保留了前 $\textstyle k$ 个PCA（主）成分”。

还原近似数据

现在，我们得到了原始数据 $\textstyle x \in \Re^n$ 的低维“压缩”表征量 $\textstyle \tilde{x} \in \Re^k$ ，反过来，如果给定 $\textstyle \tilde{x}$ ，我们应如何还原原始数据 $\textstyle x$ 呢？查看以往章节以往章节可知，要转换回来，只需 $\textstyle x = U x_{\rm rot}$ 即可。进一步，我们把 $\textstyle \tilde{x}$ 看作将 $\textstyle x_{\rm rot}$ 的最后 $\textstyle n-k$ 个元素被置0所得的近似表示，因此如果给定 $\textstyle \tilde{x} \in \Re^k$ ，可以通过在其末尾添加 $\textstyle n-k$ 个0来得到对 $\textstyle x_{\rm rot} \in \Re^n$ 的近似，最后，左乘 $\textstyle U$ 便可近似还原出原数据 $\textstyle x$ 。具体来说，计算如下：

$\begin{align} \hat{x} = U \begin{bmatrix} \tilde{x}_1 \\ \vdots \\ \tilde{x}_k \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} = \sum_{i=1}^k u_i \tilde{x}_i. \end{align}$

上面的等式基于先前对 $\textstyle U$ 的定义。在实现时，我们实际上并不先给 $\textstyle \tilde{x}$ 填0然后再左乘 $\textstyle U$ ，因为这意味着大量的乘0运算。我们可用 $\textstyle \tilde{x} \in \Re^k$ 来与 $\textstyle U$ 的前 $\textstyle k$ 列相乘，即上式中最右项，来达到同样的目的。将该算法应用于本例中的数据集，可得如下关于重构数据 $\textstyle \hat{x}$ 的点图：

由图可见，我们得到的是对原始数据集的一维近似重构。

在训练自动编码器或其它无监督特征学习算法时，算法运行时间将依赖于输入数据的维数。若用 $\textstyle \tilde{x} \in \Re^k$ 取代 $\textstyle x$ 作为输入数据，那么算法就可使用低维数据进行训练，运行速度将显著加快。对于很多数据集来说，低维表征量 $\textstyle \tilde{x}$ 是原数据集的极佳近似，因此在这些场合使用PCA是很合适的，它引入的近似误差的很小，却可显著地提高你算法的运行速度。

选择主成分个数

我们该如何选择 $\textstyle k$ ，即保留多少个PCA主成分？在上面这个简单的二维实验中，保留第一个成分看起来是自然的选择。对于高维数据来说，做这个决定就没那么简单：如果 $\textstyle k$ 过大，数据压缩率不高，在极限情况 $\textstyle k=n$ 时，等于是在使用原始数据（只是旋转投射到了不同的基）；相反地，如果 $\textstyle k$ 过小，那数据的近似误差太太。

决定 $\textstyle k$ 值时，我们通常会考虑不同 $\textstyle k$ 值可保留的方差百分比。具体来说，如果 $\textstyle k=n$ ，那么我们得到的是对数据的完美近似，也就是保留了100%的方差，即原始数据的所有变化都被保留下来；相反，如果 $\textstyle k=0$ ，那等于是使用零向量来逼近输入数据，也就是只有0%的方差被保留下来。

一般而言，设 $\textstyle \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ 表示 $\textstyle \Sigma$ 的特征值（按由大到小顺序排列），使得 $\textstyle \lambda_j$ 为对应于特征向量 $\textstyle u_j$ 的特征值。那么如果我们保留前 $\textstyle k$ 个成分，则保留的方差百分比可计算为：

$\begin{align} \frac{\sum_{j=1}^k \lambda_j}{\sum_{j=1}^n \lambda_j}. \end{align}$

在上面简单的二维实验中， $\textstyle \lambda_1 = 7.29$ ， $\textstyle \lambda_2 = 0.69$ 。因此，如果保留 $\textstyle k=1$ 个主成分，等于我们保留了 $\textstyle 7.29/(7.29+0.69) = 0.913$ ，即91.3%的方差。

对保留方差的百分比进行更正式的定义已超出了本教程的范围，但很容易证明， $\textstyle \lambda_j = \sum_{i=1}^m x_{{\rm rot},j}^2$ 。因此，如果 $\textstyle \lambda_j \approx 0$ ，则说明 $\textstyle x_{{\rm rot},j}$ 也就基本上接近于0，所以用0来近似它并不会产生多大损失。这也解释了为什么要保留前面的主成分（对应的 $\textstyle \lambda_j$ 值较大）而不是末尾的那些。这些前面的主成分 $\textstyle x_{{\rm rot},j}$ 变化性更大，取值也更大，如果将其设为0势必引入较大的近似误差。

以处理图像数据为例，一个惯常的经验法则是选择 $\textstyle k$ 以保留99%的方差，换句话说，我们选取满足以下条件的最小 $\textstyle k$ 值：

$\begin{align} \frac{\sum_{j=1}^k \lambda_j}{\sum_{j=1}^n \lambda_j} \geq 0.99. \end{align}$

对其它应用，如不介意引入稍大的误差，有时也保留90-98%的方差范围。若向他人介绍PCA算法详情，告诉他们你选择的 $\textstyle k$ 保留了95%的方差，比告诉他们你保留了前120个（或任意某个数字）主成分更好理解。

对图像数据应用PCA算法

为使PCA算法能有效工作，通常我们希望所有的特征 $\textstyle x_1, x_2, \ldots, x_n$ 都有相似的取值范围（并且均值接近于0）。如果你曾在其它应用中使用过PCA算法，你可能知道有必要单独对每个特征做预处理，即通过估算每个特征 $\textstyle x_j$ 的均值和方差，而后将其取值范围规整化为零均值和单位方差。但是，对于大部分图像类型，我们却不需要进行这样的预处理。假定我们将在自然图像上训练算法，此时特征 $\textstyle x_j$ 代表的是像素 $\textstyle j$ 的值。所谓“自然图像”，不严格的说，是指人或动物在他们一生中所见的那种图像。

注：通常我们选取含草木等内容的户外场景图片，然后从中随机截取小图像块（如16x16像素）来训练算法。在实践中我们发现，大多数特征学习算法对训练图片的确切类型并不敏感，所以大多数用普通照相机拍摄的图片，只要不是特别的模糊或带有非常奇怪的人工痕迹，都可以使用。

在自然图像上进行训练时，对每一个像素单独估计均值和方差意义不大，因为（理论上）图像任一部分的统计性质都应该和其它部分相同，图像的这种特性被称作平稳性（stationarity）。

具体而言，为使PCA算法正常工作，我们通常需要满足以下要求：(1)特征的均值大致为0；(2)不同特征的方差值彼此相似。对于自然图片，即使不进行方差归一化操作，条件(2)也自然满足，故而我们不再进行任何方差归一化操作（对音频数据,如声谱,或文本数据,如词袋向量，我们通常也不进行方差归一化）。实际上，PCA算法对输入数据具有缩放不变性，无论输入数据的值被如何放大（或缩小），返回的特征向量都不改变。更正式的说：如果将每个特征向量 $\textstyle x$ 都乘以某个正数（即所有特征量被放大或缩小相同的倍数），PCA的输出特征向量都将不会发生变化。

既然我们不做方差归一化，唯一还需进行的规整化操作就是均值规整化，其目的是保证所有特征的均值都在0附近。根据应用，在大多数情况下，我们并不关注所输入图像的整体明亮程度。比如在对象识别任务中，图像的整体明亮程度并不会影响图像中存在的是什么物体。更为正式地说，我们对图像块的平均亮度值不感兴趣，所以可以减去这个值来进行均值规整化。

具体的步骤是，如果 $\textstyle x^{(i)} \in \Re^{n}$ 代表16x16的图像块的亮度（灰度）值（ $\textstyle n=256$ ），可用如下算法来对每幅图像进行零均值化操作：

$\mu^{(i)} := \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n x^{(i)}_j$

$x^{(i)}_j := x^{(i)}_j - \mu^{(i)}$ , for all $\textstyle j$

请注意：1）对每个输入图像块 $\textstyle x^{(i)}$ 都要单独执行上面两个步骤，2）这里的 $\textstyle \mu^{(i)}$ 是指图像块 $\textstyle x^{(i)}$ 的平均亮度值。尤其需要注意的是，这和为每个像素 $\textstyle x_j$ 单独估算均值是两个完全不同的概念。

如果你处理的图像并非自然图像（比如，手写文字，或者白背景正中摆放单独物体），其他规整化操作就值得考虑了，而哪种做法最合适也取决于具体应用场合。但对自然图像而言，对每幅图像进行上述的零均值规整化，是默认而合理的处理。

参考文献

http://cs229.stanford.edu

中英文对照

Principal Components Analysis 主成份分析

whitening 白化

intensity 亮度

mean 平均值

variance 方差

covariance matrix 协方差矩阵

basis 基

magnitude 幅值

stationarity 平稳性

normalization 归一化

eigenvector 特征向量

eigenvalue 特征值

中文译者

郭亮（guoliang2248@gmail.com），张力（emma.lzhang@gmail.com），金峰（jinfengb@gmail.com）, @破破的桥（新浪微博）, 谭晓阳（x.tan@nuaa.edu.cn）

posted @ 2014-04-01 22:06 止战阅读(548) 评论(0) 编辑收藏举报

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旋转数据

数据降维

还原近似数据

选择主成分个数

对图像数据应用PCA算法

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