2025.01.26 practice

AmShZ Farm

\(2.00\text{s}\)

\(250.00\text{MB}\)

题面翻译

给定 \(n,k\)，问有多少对正整数序列 \(a,b\)，满足

• \(a\) 的长度为 \(n\)，\(b\) 的长度为 \(k\)。\(a,b\) 中的每个数都在 \([1,n]\)。
• 将 \(a\) 的每个数加上一个非负整数后可以得到一个 \(1\dots n\) 的排列。
• 所有的 \(a_{b_i}(1\le i\le k)\) 相等。

答案对 \(998244353\) 取模。

题目描述

对于 AmShZ 来说，所有数组都是相等的，但有些数组更“相等”。具体来说，由 $ n $ 个元素组成的数组（元素范围从 $ 1 $ 到 $ n $）可以通过对每个元素添加一个非负整数变成从 $ 1 $ 到 $ n $ 的排列。

Mashtali 希望在每个问题陈述中出现，他认为一个由 $ k $ 个元素组成的数组 $ b $ 与一个由 $ n $ 个元素组成的更“相等”的数组 $ a $ 兼容，当且仅当对于每个 $ 1 \le i \le k $，都有 $ 1 \le b_i \le n $，并且 $ a_{b_1} = a_{b_2} = \ldots = a_{b_k} $。

找出数组 $ a $ 和数组 $ b $ 的配对数量，使得 $ a $ 是一个由 $ n $ 个元素组成的更“相等”的数组，而 $ b $ 是一个与 $ a $ 兼容的由 $ k $ 个元素组成的数组，结果对 $ 998244353 $ 取模。

注意，数组 $ b $ 的元素不一定是不同的，数组 $ a $ 也是如此。

输入格式

第一行输入两个整数 $ n $ 和 $ k $ $ (1 \le n \le 10^9 , 1 \le k \le 10^5) $ 。

输出格式

输出一个整数——问题的答案对 $ 998244353 $ 取模。

样例 #1

样例输入 #1

1 1

样例输出 #1

1

样例 #2

样例输入 #2

2 2

样例输出 #2

8

样例 #3

样例输入 #3

5 4

样例输出 #3

50400

样例 #4

样例输入 #4

20 100

样例输出 #4

807645526

样例 #5

样例输入 #5

10000000 10000

样例输出 #5

883232350

提示

对于第二个示例，有八种可能的配对：

1. $ a = {1, 1}, b = {1, 1} $
2. $ a = {1, 1}, b = {1, 2} $
3. $ a = {1, 1}, b = {2, 1} $
4. $ a = {1, 1}, b = {2, 2} $
5. $ a = {1, 2}, b = {1, 1} $
6. $ a = {1, 2}, b = {2, 2} $
7. $ a = {2, 1}, b = {1, 1} $
8. $ a = {2, 1}, b = {2, 2} $

[ARC166E] Fizz Buzz Difference

\(10.00\text{s}\)

\(1.00\text{GB}\)

题面翻译

给定 \(n,a,b\)，求 \(L,R\) 使得区间 \([L,R]\) 中 \(a\) 的倍数个数比 \(b\) 的倍数个数恰好多 \(n\) 个。

求出 \(R-L\) 最大的一组解，相同则输出 \(L\) 最小的一组解。

多测，$1\le T\le 2\times 10^5,1\le n\le10^6,1\le a\lt b\le 10^6 $。

题目描述

正整数 $ n,\ a,\ b $ 使得 $ a\ <\ b $ 被给出。

整数对 $ (L,R) $ 满足 $ 1\leq\ L\leq\ R $ 被称为良好组合，当且仅当满足以下条件：

• 设 $ L $ 到 $ R $ 之间的整数中，$ a $ 的倍数的个数为 $ n_a \(，\) b $ 的倍数的个数为 $ n_b $，则必须满足 $ n_a\ -\ n_b\ =\ n $。

可以证明，良好组合一定存在。请找出良好组合中 $ R-L $ 最大的组合。如果存在多个这样的组合，则返回其中 $ L $ 最小的组合（由于 $ 1\leq\ L $，因此存在 $ L $ 最小的组合，且答案 $ (L,\ R) $ 是唯一的）。

给定 $ T $ 个测试用例，请为每个测试用例求解答案。

输入格式

输入通过标准输入以以下格式给出。

$ T $ $ \text{case}_1 $ $ \vdots $ $ \text{case}_T $

每个测试用例以以下格式给出。

$ n $ $ a $ $ b $

输出格式

请输出 $ T $ 行。第 $ i $ 行应输出第 $ i $ 个测试用例的答案组合 $ (L,R) $，格式如下。

$ L $ $ R $

样例 #1

样例输入 #1

1
3 3 5

样例输出 #1

4 35

样例 #2

样例输入 #2

5
4 3 5
6 2 4
1 1 2
123 456 789
9876 54 321

样例输出 #2

10 50
3 29
2 4
5473 140447
163 641411

提示

限制条件

• $ 1\leq\ T\leq\ 2\times\ 10^5 $
• $ 1\leq\ n\ \leq\ 10^6 $
• $ 1\leq\ a\ <\ b\ \leq\ 10^6 $

样例解释 1

$ (L,R)=(4,35) $ 是一个良好组合，因为 $ n_a=10,\ n_b=7 $。其他良好组合例如 $ (1,26) $, $ (10,41) $ 等等。虽然 $ (1,26) $ 是良好组合，但 $ R-L $ 不是最大，因此不是答案。而 $ (10,41) $ 的 $ R-L $ 最大，但 $ L $ 不是最小，因此也不是答案。