拓展欧几里得算法及其应用 二元一次不定方程 线性同余方程 线性同余方程组 拓展中国剩余定理 模板

拓展欧几里得算法

欧几里得算法直接使用g++中的<algorithm>库中__gcd()函数即可。

$(a,b)=(b,a \bmod b)$.

拓展欧几里得算法用于求出不定方程$ax+by=(a,b)$的一个特解$x_0,y_0$,
顺带求出$(a,b)$,[通解$x=x_0+\frac{b}{(a,b)}t,\,y=y_0-\frac{a}{(a,b)}t \; (t \in Z)$]{}.

解不定方程

不定方程$ax+by=c$有解等价于$(a,b) \mid c$.据此判断是否有解，若有解，假设有一组特解$x_0^{&#x27;},y_0^{&#x27;}$,则它们的$\frac{c}{(a,b)}$倍显然是原不定方程的一组特解。$x_0=\frac{c}{(a,b)}x_0^{&#x27;},y_0=\frac{c}{(a,b)}y_0^{&#x27;}$,而通解依旧是$x=x_0+\frac{b}{(a,b)}t,\,y=y_0-\frac{a}{(a,b)}t \; (t \in Z)$.

求解模线性方程（线性同余方程）

$ax \equiv c\pmod{m} \Longleftrightarrow ax+my=c$.

求乘法逆元

$ab \equiv 1 \pmod{m}$,
则a关于模m的乘法逆元是b，b关于模m的乘法逆元是a。或者说$Z_m$群中a和b互为乘法逆元。

用乘法逆元有$\frac{A}{b} \equiv A \times b^{-1} \pmod{c}$.当左边的式子A是很大的数，而b是小规模数，且除出来的数一定是整数的时候，可以用右式边算边模。

求解
$ax \equiv 1 \pmod{m} \Longleftrightarrow ax+my= 1$.解出的x即为解，只是注意需要用通解公式将$x$调整到$Z_m$范围内。

线性同余方程组

方程组$a_ix \equiv c_i \pmod{m_i} \quad (i=1, 2, 3, \ldots, n)$

对每一个现行同余方程，若无解，则方程组无解；否则，可以解得$x=k_it_i+x_i, \; t_i \in Z$.而$x_i \in \left[0,k_i\right), k_i = \frac{m_i}{(a_i,m_i)} \leq m_i$.不妨增加$x_0=0,k_0=1$,即增加式子$x=t_0+0$.

现在考虑同时满足$x=k_1t_1+x_1$与$x=k_2t_2+x_2$两个约束的x能否合并成一个依旧如此形式的一个表达式，即$x=k_0t+x_0$.

联立两个方程，易得$k_1t_1-k_2t_2=x_2-x_1$,将其视作关于$t_1,t_2$的不定方程。若这个方程无解，说明同时满足两个条件的x不存在；否则，每确定一个$t_1$可以代入$x=k_1t_1+x_1$确定一个$x$.
如果我们只是解出$t_1$的话，不妨换成$k_1t_1+k_2t_2=x_2-x_1$，$t_1$的每一个解是不变的。

假设$k_1t_1+k_2t_2=x_2-x_1$有解，并且解为$t_1=t_{1_0}+\frac{k_2}{(k_1,k_2)}t \quad t_{1_0} \in \left[ 0,\frac{k_2}{(k_1,k_2)} \right), \; t \in Z$.

代入$x=k_1t_1+x_1$得$x=k_1(t_{1_0}+\frac{k_2}{(k_1,k_2)}t)+x_1=\frac{k_1k_2}{(k_1,k_2)}t+(k_1t_{1_0}+x_1)$.而$k_1t_{1_0}+x_1 &lt; \frac{k_1k_2}{(k_1,k_2)} \Longleftrightarrow t_{1_0}+\frac{x_1}{k_1} &lt; \frac{k_2}{(k_1,k_2)}$.而$t_{1_0} &lt; \frac{k_2}{(k_1,k_2)}$.注意到$t_{1_0},\frac{k_2}{(k_1,k_2)}$是整数，故$t_{1_0} \leq \frac{k_2}{(k_1,k_2)}-1$.又$\frac{x_1}{k_1}\, &lt;\, 1$.这两个不等式相加即可得到$t_{1_0}+\frac{x_1}{k_1} &lt; \frac{k_2}{(k_1,k_2)}$。即符合前面定义的形式：$(k_1t_{1_0}+x_1) \in \left[0, \frac{k_1k_2}{(k_1,k_2)}\right)$.

合并为$x=kt+x_0.$的形式有：$\begin{aligned} k &amp;=\frac{k_1,k_2}{(k_1,k_2)}=[k_1,k_2] \\ x_0 &amp;=k_1t_{1_0}+x_1 \end{aligned}$

对于写程序，由于我们引入了$x=x_0=0,k=k_0=1$.可以每次$x_0,k_0$与$x_i,k_i$合并成$x_0,k_0$.故程序迭代是$x+=kt,k=[k,k_i]$,其中$t_0$是$k_0t_0+k_it_i=x_i-x_0$的不定方程的最小非负整数解。

[程序设计方面爆long long的问题及应对策略]{}

[由于k的迭代是不断求最小公倍数，而特解x始终是小于k的，因此k和x可能会增长的很快导致爆long
long.尤其是k很容易爆掉。]{}

如何解决爆炸的问题？或许可以用[__int128]{}。如果k和x还是都爆掉了，那么没法子，只能设法自己实现k和x的存储，注意到解不定方程需要求$(k_0,k_i)$与$\frac{k_i}{(k_0,k_i)}$,所以要大数加减，大数乘除模普通数的实现。估计够呛。

code

复杂度，拓展欧几里得算法复杂度$\ln{val}$,不定方程、线性同余方程、逆元都是一次拓欧，其余部分是$O(1)$.线性同余方程组每一个方程需要解2个不定方程，其余操作单个都是$O(1)$,复杂度$O(n\ln{val})$.

    // poj 2891 然而poj不支持__int128和C++11 把auto替换成正确的类型，__int128换成long long即可。poj那道题没爆long long
    #include <bits/stdc++.h>
    typedef __int128 ll;

    // 求解不定方程ax+by=(a,b)的一组特解并返回a,b最大公约数
    // x,y存储返回的一组特解。易懂version
    ll ex_gcd1(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    	if (b) {
    		auto d = ex_gcd1(b, a%b, x,  y);
    		auto x_bac = x;
    		x = y; // x设为后
    		y = x_bac - a/b * y; // y设为前-a/b*后
    		return d;
    	} else {
    		x = 1; y = 0;
    		return a;
    	}
    }

    // 求解不定方程ax+by=(a,b)的一组特解并返回a,b最大公约数
    // x,y存储返回的一组特解。
    ll ex_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    	if (b) {
    		auto d = ex_gcd(b, a%b, y, x); // 注意x和y位置互换了。
    		// x是后，无需赋值，y是 前-a/b*后 即 y -= a/b*x
    		y -= a/b*x;
    		return d;
    	} else {
    		x = 1; y = 0;
    		return a;
    	}
    }

    // 求解不定方程ax+by=c.
    // 返回值表示是否有解
    // d存储是(a,b)
    // 当有解的情况下
    // x,y存储一组特解,并且确保x是最小的非负整数。
    // 通解是X=x+(b/d)*t,Y=y-(a/d)*t t是整数。
    bool binary_linear_indefinite_equation(ll a, ll b, ll c, ll &x, ll &y, ll &d) {
    	d = ex_gcd(a, b, x, y); // solve: ax+by=(a,b)
    	if (c%d) return false;
    	x *= c/d;
    	y *= c/d;
    	auto k = b/d;
    	x = (x%k+k)%k; // 调为最小非负整数
    	y = (d-a*x)/b;
    	return true;
    }

    // 线性同余方程 Linear congruence equation
    // ax = c (mod m) <===> ax+my=c
    // x存储最小非负解，通解X=x+kt t为整数
    // 有解的情况下，最小非负解x肯定在[0,m)范围内
    bool linear_congruence_equation(ll a, ll c, ll m, ll &x, ll &k) {
    	ll y, d;
    	auto ans = binary_linear_indefinite_equation(a, m, c, x, y, d);
    	k = m/d;
    	return ans;
    }

    // 求a在Zm<+,*>中的乘法逆元x
    // 返回逆元是否存在,x存储逆元
    // ax = 1 (mod m)
    bool multiplicative_inverse(ll a, ll m, ll &x) {
    	ll k;
    	return linear_congruence_equation(a, 1, m, x, k);
    	// assert(k == m);
    }

    // 线性同余方程组 Linear congruence equations
    // a_ix = c_i (mod m_i) 共n个
    // 可能存在的问题，由于迭代过程中k一直在求最小公倍数，所以可能会爆long long，这个，最佳的方法是直接暴力把ll的定义改为__int128
    // 但是要注意__int128的输入输出
    // 如果还是爆，我没法子了
    bool linear_congruence_equations(int n, ll a[], ll c[], ll m[], ll &x, ll &k) {
    	ll x_i, k_i, t, t_i, d;
    	x = 0; k = 1;
    	for (int i = 0; i < n; ++i) {
    		if (!linear_congruence_equation(a[i], c[i], m[i], x_i, k_i))
    			return false; 
    		// kt+x
    		// k_it_i+x_i
    		if (!binary_linear_indefinite_equation(
    			k, k_i, x_i-x, t, t_i, d))
    			return false;
    		x += k*t;
    		k *= k_i/d;
    	}
    	return true;
    }

    inline ll read()
    {
    	ll x = 0;
    	bool f = 0;
    	char ch = getchar();
    	while (ch < '0' || '9' < ch)
    		f |= ch == '-', ch = getchar();
    	while ('0' <= ch && ch <= '9')
    		x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
    	return f ? -x : x;
    }

    void write(ll a)
    {
    	if (a < 0)
    	{
    		putchar('-');
    		a = -a;
    	}
    	if (a >= 10)
    	{
    		write(a / 10);
    	}
    	putchar(a % 10 + '0');
    }

    const int kMaxN = 10000;
    ll a[kMaxN]; // ax=c (mod c)
    ll m[kMaxN];
    ll c[kMaxN]; 
    void solve(int n) {
    	for (int i = 0; i < n; ++i) {
    		a[i] = 1;
    		m[i] = read();
    		c[i] = read();
    	}
    	ll x,k;
    	auto ans = linear_congruence_equations(n,a,c,m,x,k);
    	if (ans) {
    		write(x);
    		putchar('\n');
    	} else
    		puts("-1");
    }

    int main()
    {
    	int n;
    	while (scanf("%d",&n) != EOF) {
    		solve(n);
    	}
    }