中国剩余定理笔记与模板

中国剩余定理

结论

方程组$x \equiv c_i \pmod{m_i} \quad (i=1, 2, 3, \ldots, n)$.其中$m_i$[两两互质]{.underline}。

中国剩余定理是说，这样的线性同余方程组的通解是$x=x_0+Mt, \, t \in Z$.其中$M=\prod\limits_{i=1}^{n}m_i$,即所有模数的乘积；$x_0={ \left( \sum\limits_{i=1}^{n} c_i M_i {M_i}_{m_i}^{-1} \right) \bmod M }$.其中$M_i=\frac{M}{m_i}$，即$M_i$是除掉第$i$个模数$m_i$之外所有模数的积;${M_i}_{m_i}^{-1}$是$M_i$关于模数$m_i$的逆元。显然模M意义下，解有且只有一个,即$x_0$。

证明

只需要证明下面三个子命题，就可以得到通解必须是上面的所述。

1. 证明$x_0$是一个特解。
2. 所有解都可以表示成$x_0+Mt$

子命题1的证明

对于第$i$个方程$x \equiv c_i \pmod{m_i}$，求和式$x_0 = \left( \sum\limits_{j=1}^{n} c_j M_j {M_j}_{m_j}^{-1} \right) \bmod M$（为了避免歧义，把求和式中的枚举下标换成j了）。

1. 当$j=i$,则$c_j M_j {M_j}_{m_j}^{-1} \bmod m_i = c_i \bmod m_i$.因为${M_j}_{m_j}^{-1}$就是$M_j$在模$m_j$意义下的逆元，当你计算他们的乘积模$m_j$时，自然等于1了。
2. 当$j \neq i$,而$M_j$是除了$m_j$之外所有模数的乘积，自然含有因数$m_i$了，因此，$c_j M_j {M_j}_{m_j}^{-1} \bmod m_i = 0$
   所以这个求和式在模$m_i$意义下只有第$i$项有贡献，且贡献恰好是$c_i$.因此，满足第$i$个方程，由于$i$是任意的，所以$x_0$满足所有方程，是方程组的一个特解。

子命题2的证明

假设有一个解$x_1$
则显然有$x_1-x_0 \equiv 0 \pmod{m_i} \quad (i=1, 2, 3, \ldots, n)$.
因此$x_1-x_0=lcm(m_1,m_2,m_3,\ldots,m_n) \times t=Mt \quad (t \in Z)$.
于是任意解都可以表示成$x_0+Mt$的形式。

Code

// m两两互质
// 当模数是long long的时候，两个数相乘要用__int128
// 当模数是__int128的时候，使用ex_gcd解线性同余方程组或者使用快速模乘防止爆__int128
bool chinese_remainder_theory(int n, ll c[], ll m[], ll &x, ll &k) {
	ll &M = k;
	ll Mi, inv_Mi;
	__int128 t;
	M = 1; x = 0;
	for (int i= 0; i < n; ++i) M *= m[i];
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		Mi = M/m[i];
		multiplicative_inverse(Mi,m[i],inv_Mi); // 肯定存在
		t = c[i]%M;
		t = t*Mi%M;
		t = t*inv_Mi%M; // 防止爆long long
		x = (x+(ll)t)%M;
	}
	return true;
}