奇怪的午餐盒

题目回顾

我们需要从N种午餐盒中选择若干个，使得：

1. 总章鱼烧数量 ≥ X
2. 总鲷鱼烧数量 ≥ Y
3. 选择的午餐盒数量最少

每种午餐盒只能选一次（0-1背包问题）。

解题思路

这是一个典型的二维费用的0-1背包问题，我们可以使用动态规划（DP）来解决。

DP状态定义

定义 dp[i][j] 表示总章鱼烧 ≥ i，总鲷鱼烧 ≥ j 的最小午餐盒数量。

状态转移

对于每个午餐盒（A_i, B_i），我们有两种选择：

1. 不选：dp[i][j] 保持不变。
2. 选：更新 dp[min(i + A_i, X)][min(j + B_i, Y)] 为 min(dp[new_i][new_j], dp[i][j] + 1)。

初始化

初始时，dp[0][0] = 0（不选任何午餐盒时，数量为0），其他位置设为无穷大（表示不可达）。

最终答案

我们需要在所有 i ≥ X 和 j ≥ Y 的情况下，找到最小的 dp[i][j]。

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代码注释

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define endl "\n"
const int INF = 0x7fffffff; // 定义无穷大
const int N = 3e2+5; // 定义最大可能的X和Y范围

struct node{
    int first,secend; // first表示章鱼烧数量，secend表示鲷鱼烧数量
}a[N]; // 存储每种午餐盒的信息

int n, x, y; // n表示午餐盒种类数，x和y表示目标数量

int main() {
    cin>>n>>x>>y; // 输入n, x, y
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i].first>>a[i].secend; // 输入每种午餐盒的章鱼烧和鲷鱼烧数量
    }
    
    // 初始化DP表，dp[i][j]表示达到i章鱼烧和j鲷鱼烧所需的最小午餐盒数
    vector<vector<int>> dp(N,vector<int>(N,INF));
    dp[0][0] = 0; // 初始状态：不选任何午餐盒时，数量为0
    
    // 遍历每种午餐盒
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int p = a[i].first, q = a[i].secend; // 当前午餐盒的章鱼烧和鲷鱼烧数量
        
        // 逆向更新DP表，避免重复选择
        for(int i=x;i>=0;i--){
            for(int j=y;j>=0;j--){
                if(dp[i][j]==INF) continue; // 如果当前状态不可达，跳过
                
                // 计算选择当前午餐盒后的新状态
                int one = min(i+p, x); // 章鱼烧数量不超过x
                int two = min(j+q, y); // 鲷鱼烧数量不超过y
                
                // 更新新状态的最小午餐盒数
                dp[one][two] = min(dp[one][two], dp[i][j]+1);
            }
        }
    }
    
    // 输出结果
    if(dp[x][y]==INF) cout<<-1; // 如果无法达到目标，输出-1
    else cout<<dp[x][y]; // 否则输出最小午餐盒数
    
    return 0;
}

代码解释

1. 输入处理：读取N, X, Y以及每个午餐盒的A_i和B_i。
2. DP初始化：dp表初始化为INF，表示不可达，dp[0][0] = 0表示不选任何午餐盒时数量为0。
3. DP更新：
   • 遍历每个午餐盒。
   • 逆向更新DP表（类似0-1背包问题，避免重复选择）。
   • 更新时，one和two被限制在X和Y以内，避免计算不必要的大数值。
4. 结果输出：如果dp[x][y]仍为INF，说明无法满足条件，输出-1；否则输出最小数量。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(NXY) = 300×300×300 = 27,000,000，在C++中是可接受的。
• 空间复杂度：O(XY) = 300×300 = 90,000，使用滚动数组优化后空间足够。