旅行方案

解题思路分析

1.问题理解：

    我们需要计算从城市1出发，经过k天后又回到城市1的合法路径数量。

    每条路径必须满足相邻两天所在城市不同且有完好的道路连接。

2.关键观察：

    这是一个典型的动态规划问题，状态转移需要考虑道路的限制条件。

    每天的选择取决于前一天的位置和可用的道路。

3.动态规划设计：

    状态定义：dp[v]表示当前步数下到达城市v的方案数。

    初始状态：dp[1] = 1（第0天在城市1）。

    状态转移：

        计算所有城市的方案数总和cnt。

        对于每个城市v，计算不可行的方案数bad（包括停留在原地和走损坏的道路）。

        新状态dp2[v] = 总方案数 - 不可行方案数。

    结果输出：经过k次迭代后dp[1]的值即为答案。

4.优化点：

    使用邻接表(unordered_set)存储损坏的道路，快速查询。

    每次迭代只保留前一步的状态，空间复杂度优化为O(n)。

    及时取模防止整数溢出。

5.复杂度分析：

    时间复杂度：O(k*(n+m))，外层循环k次，内层对n个城市和m条边进行处理。

    空间复杂度：O(n+m)，存储图和dp数组。

6.样例解释：

    样例1中，损坏道路只有2-3，所以有4种合法路径（如代码注释所示）。

    样例2中所有道路都损坏，所以没有合法路径（输出0）。

    样例3需要处理较大的k值，验证算法的正确性和效率。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 998244353;  // 定义模数，用于结果取模
int n, m, k;  // n-城市数量，m-损坏道路数量，k-旅行天数

int main() {
    cin >> n >> m >> k;
    // vis数组记录每个城市不可达的邻接城市（损坏的道路）
    vector<unordered_set<int>> vis(n+1);  // 下标从1开始
    
    // 读入损坏的道路信息
    for(int i=0; i<m; ++i){
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        vis[u].insert(v);  // 记录u不能到达v
        vis[v].insert(u);  // 记录v不能到达u（无向图）
    }
    
    // dp数组，dp[v]表示当前步数下到达城市v的方案数
    vector<int> dp(n+1, 0);
    dp[1] = 1;  // 初始状态：第0天在城市1的方案数为1
    
    // 动态规划，计算k步后的结果
    for(int i=0; i<k; i++){
        int cnt = 0;
        // 计算上一步所有城市的方案数总和
        for(int v=1; v<=n; ++v) cnt = (cnt + dp[v]) % mod;  
        
        vector<int> dp2(n+1, 0);  // 新一步的dp数组
        for(int v=1; v<=n; ++v){
            int bad = dp[v];  // 不能停留在原地的方案数
            // 加上不能走的相邻城市的方案数（因为不能走回头路）
            for(int u : vis[v]) bad = (bad + dp[u]) % mod; 
            // 新一步的方案数 = 总方案数 - 不可行的方案数
            dp2[v] = (cnt - bad + mod) % mod;  // 加mod防止负数
        }
        dp = move(dp2);  // 更新dp数组
    }
    cout << dp[1] << endl;  // 输出k天后回到城市1的方案数
    return 0;
}