LeetCode 204：计数质数。暴力解法及优化，筛法解决。

统计所有小于非负整数 n 的质数的数量。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/count-primes

 

暴力解法：

构建新列表存质数，遍历质数列表，如果n与质数列表的所有数相除余数都不等于0，则为质数，并增加质数列表，否则则不增加。

class Solution:
    def countPrimes(self, n: int) -> int:
        if n <=2:
            return 0
        if n==3:
            return 1
        list_ =[2]
        for item in range(3,n):
            for prime in list_:
                if item % prime ==0:
                    break
            else:
                list_.append(item)
        return len(list_)

 

使用这种解法，力扣运行提示超时，那么该如何优化呢。

当prime>√n 时，则不需要加入质数列表参与除法。举个例子：

如果n为16，√16=4，4以内的质数只有2和3，此时16 能整除2和3，则16不是质数。

如果n为17，√17=4.123，5以内的质数只有2和3，此时17 不能整除2和3，则17是质数。

为什么不用考虑√n以上，参考定理：任何一个合数(非质数)，都可以以唯一的形式被写成有限个质数的乘积。

class Solution:
　　def countPrimes(self, n: int) -> int:
        if n <=2:
            return 0
        if n==3:
            return 1
        count =1
        list_ =[2]
        for item in range(3,n):
            for prime in list_:
                if item % prime ==0:
                    break
            else:
                count+=1
                if prime < int(n**0.5)+1:
                    list_.append(item)
        return  count

通过优化，已经能跑通用例。

 

 

 

厄拉多塞筛法：

先将 2~n 的各个数放入表中，然后在2的上面画一个圆圈，然后划去2的其他倍数；第一个既未画圈又没有被划去的数是3，将它画圈，再划去3的其他倍数；现在既未画圈又没有被划去的第一个数 是5，将它画圈，并划去5的其他倍数……依次类推，一直到所有小于或等于 n 的各数都画了圈或划去为止。这时，表中画了圈的以及未划去的那些数正好就是小于 n 的素数。

 

class Solution:
    def countPrimes(self, n: int) -> int:
        if n < 3:
            return 0
        list_a = [1] * n
        list_a[0], list_a[1] = 0, 0
        for i in range(2, int(n**0.5)+1):
            if list_a[i] ==1:
                for j in range(i**2,n,i):
                    list_a[j] =0
        return sum(list_a)

 

欧拉筛法：

虽然欧拉筛法是线性的，但是由于厄拉多塞筛法进行了优化，还是比下面的代码稍快一些。

大致思路：

1、生成两个列表，一个用于存质数，一个用于标记是否是质数，先假设全部为质数

2、开始遍历n以内所有正整数i，如果没有被标记为非质数，则将已有的质数列表遍历j与i相乘，得出的数全部标记为合数（分解质因数原理），当i*j的值大于n时，就没有必要继续标记非质数了，因为遍历至n就停止了。

3、如若遍历中遇到数字被标记了非质数则无需在质数列表增加

class Solution:
    def countPrimes(self, n: int) -> int:
        if n < 3:
            return 0
        prime_list = []
        list_ = [1]*n
        for i in range(2, n):
            if list_[i]:
                prime_list.append(i)
            for j in prime_list:
                if j * i >= n:
                    break
                list_[j * i] = 0
                if i % j == 0:
                    break
        return len(prime_list)