26-27年深圳开学考 二次函数最值问题

专题：二次函数 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 题型：最值问题 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 难度系数：★★★★

经典例题讲解尽量从学生的角度出发，重在引导思考与总结!

【题目】

(26-27年深圳开学考)
已知抛物线\(y=ax^2-2ax+c\)(\(a\)，\(c\)为常数，\(a≠0\))过点\(Q(2，2)\)，顶点为点\(P\).
(1)当\(a=-1\)时，求此抛物线顶点\(P\)的坐标；
(2)当\(a<0\)时，若\(△OPQ\)的面积为\(4\)，求此抛物线的解析式；
(3)将抛物线\(y=ax^2-2ax+c\)向左平移\(2\)个单位，向下平移\((a+1)\)个单位\((a>0)\)；得到新抛物线的顶点为\(A\)，与\(y\)轴交点为\(B\)，点\(M\)在直线\(x=1\)上，点\(N\)在直线\(y=-5\)上，当四边形\(ABMN\)的周长最小时，恰好有\(MN∥AB\)，求\(a\)的值和四边形\(ABMN\)周长的最小值．
 
 
 
 
 
 

【分析】

第一问：代入点\(Q\)，求出解析式，再求顶点；
 

第二问：抛物线\(y=a(x-1)^2+2-a\)，顶点\(P(1，2-a)\)，
方法1 面积公式
遇到三角形面积，想到\(\dfrac{1}{2} ×高×底\)的话，易得\(OQ=2\sqrt{2}\)，则点\(P\)到直线\(OQ\)的距离\(PH=2\sqrt{2}\)，

此时比较好想到勾股定理\(\left\{ \begin{array}{c} OP^2=OH^2+PH^2\\ QP^2=(OH-2\sqrt{2})^2+PH^2 \end{array} \right. ⟹ \left\{ \begin{array}{c} 1+(2-a)^2=OH^2+8\\ 1+a^2=(OH-2\sqrt{2})^2+8 \end{array} \right. \)，
解得\(a=-3\)，便可得到答案，但计算量较大；
 

方法2 铅垂法

由铅垂法可得\(S_{△OPQ}=\dfrac{PH(x_Q-0)}{2} =4⟹PH=4⟹y_P-y_H=4\)，
进而想到求直线\(OQ\)方程，得到点\(H\)坐标，便可得到答案；
 

方法3 割补法
延长\(PQ\)交\(x\)轴于\(H\)，

\(S_{△OPQ}=S_{△OPH}-S_{△OQH}=\dfrac{1}{2}(2-a)\cdot OH-\dfrac{1}{2} \cdot a\cdot OH=-\dfrac{1}{2} a\cdot OH=4 ⟹a\cdot OH=-8\)，
由点\(P (1，2-a)\)，\(Q(2，2)\)，可得直线\(PQ\)的解析式(含\(a\))，进而得到\(x_H\)(含\(a\))，
结合\(a\cdot OH=-8\)得到\(a\)的方程，便可得到答案；
 

第三问：新抛物线的解析式为\(y=a(x+1)^2+1-2a\)，\(A(-1，1-2a)，B(0，1-a)\)，
当\(a\)确定时，\(AB\)的长度为定值，
则\(M，N\)运动时，四边形\(ABMN\)的周长最小等价于\(BM+MN+NA\)最小，
作点\(B\)关于直线\(x=1\)的对称点\(B' (2，1-a)\)，作点\(A\)关于直线\(y=-5\)的对称点\(A' (-1，2a-11)\)，

当且仅当\(B'、M、N、A'\)四点共线时，等号成立，此时四边形周长最小．（将军饮马模型的变形）
由\(MN∥AB\)，有两个方法，一可想到构造相似三角形，二想到\(k_{AB}=k_{A' B'}\)，可求得答案.
 

【解答】

第一问：

解：\(∵y=ax^2-2ax+c(a，c\)为常数，\(a≠0)\)过点\(Q(2，2)\)，
\(∴2=4a-4a+c\)，\(∴c=2\)，
当\(a=-1\)时，抛物线\(y=ax^2-2ax+c=-x^2+2x+2=-(x-1)^2+3\)，
\(∴\)此抛物线顶点\(P\)的坐标为\((1，3)\)；
 

第二问：
方法1 面积公式
由(1)可知，\(c=2\)，
\(∵\)抛物线\(y=ax^2-2ax+c=a(x-1)^2+2-a\)，
\(∴\)此抛物线顶点\(P\)的坐标为\((1，2-a)\)，
\(∵Q(2，2)\)，\(∴OQ=2\sqrt{2}\)，
设点\(PH⊥OQ\)，交直线\(OQ\)于点\(H\)，

\(∵S_{△OPQ}=\dfrac{1}{2} ×OQ×PH=\sqrt{2} PH=4\)，\(∴PH=2\sqrt{2}\)，
又\(∵\left\{ \begin{array}{c} OP^2=OH^2+PH^2\\ QP^2=(OH-2\sqrt{2})^2+PH^2 \end{array} \right. \)，\(∴\left\{ \begin{array}{c} 1+(2-a)^2=OH^2+8\\ 1+a^2=(OH-2\sqrt{2})^2+8 \end{array} \right. \)，解得\(a=-3\)，
\(∴\)此抛物线的解析式为：\(y=-3x^2+6x+2\)；
 

方法2 铅垂法
由(1)可知，\(c=2\)，
\(∵\)抛物线\(y=ax^2-2ax+c=a(x-1)^2+2-a\)，\(∴\)此抛物线顶点\(P\)的坐标为\((1，2-a)\)，
设直线\(OQ\)的表达式为\(y=kx(k≠0)\)，代入点\(Q(2，2)\)，\(∴2=2k\)，\(∴k=1\)，
\(∴\)直线\(OQ\)的表达式为\(y=x\)，
过点\(P\)作\(PH⊥x\)轴交直线\(OQ\)于点\(H\)，

\(∴H(1，1)\)，\(∴PH=2-a-1=1-a\)，
\(∵S_{△OPQ}=S_{△OPH}+S_{△PHQ}=\dfrac{PH·x_P}{2} +\dfrac{PH·(x_Q-x_P) }{2} =\dfrac{PH·x_Q }{2} =4\)，
\(∴\dfrac{(1-a)×2}{2} =4\)，\(∴a=-3\)，
\(∴\)此抛物线的解析式为：\(y=-3x^2+6x+2\)；
 

方法3 割补法
延长\(PQ\)交\(x\)轴于\(H\)，

\(∵S_{△OPQ}=S_{△OPH}-S_{△OQH}=\dfrac{1}{2} (2-a)\cdot OH-\dfrac{1}{2} \cdot a\cdot OH=-\dfrac{1}{2} a\cdot OH=4\)，
\(∴a\cdot OH=-8\)，
设直线\(PQ\)的解析式\(y=kx+b\)，
代入\(P (1，2-a)，Q(2，2)\)，得到\(\left\{ \begin{array}{c} k+b=2-a\\ 2k+b=2 \end{array} \right. \)，解得\(\left\{ \begin{array}{c} k=a\\ b=2-2a \end{array} \right. \)，
\(∴\)直线\(PQ\)的解析式\(y=ax+2-2a\)，
令\(y=0\)，得到\(x=2-\dfrac{2}{a}\)，\(∴OH=2-\dfrac{2}{a}\)，
\(∴a(2-\dfrac{2}{a} )=-8\)，解得\(a=-3\)，
\(∴\)此抛物线的解析式为：\(y=-3x^2+6x+2\)；
 

小结：
① 遇到三角形的面积，多想到三角形的面积公式\(\dfrac{底×高}{2}\)或割补法（铅垂法的本质也是割补）
② 若点\(A\)和\(B\)是动点，我们要习惯利用待定系数法求含参数的直线\(AB\)方程，好比该问方法3中求直线\(PQ\)的解析式；
 

第三问：
方法1 平行直线
依题意，新抛物线的顶点\(A(-1，1-2a)\)，新抛物线的解析式为\(y=a(x+1)^2+1-2a\)，
令\(x=0\)，得\(y=a+1-2a=1-a\)，
\(∴B(0，1-a)\)，
当\(a\)固定时，\(AB\)的长度为定值，
∴四边形\(ABMN\)的周长最小等价于\(BM+MN+NA\)最小，
作点\(B\)关于直线\(x=1\)的对称点\(B'\)，作点\(A\)关于直线\(y=-5\)的对称点\(A'\)，

由对称性质得\(BM=B' M\)，\(NA=NA'\)，
\(∴BM+MN+NA=B' M+MN+NA'≥B' A'\)，
当且仅当\(B'、M、N、A'\)四点共线时，等号成立，此时四边形周长最小．
由对称性质可得：\(B'\)的坐标为\((2，1-a)\)，\(A'\)的坐标为\((-1，2a-11)\)．
设直线\(AB\)的解析式为\(y=kx+b\)，
将\(A(-1，1-2a)，B(0，1-a)\)代入可得\(\left\{ \begin{array}{c} -k+b=1-2a\\ b=1-a \end{array} \right. \)，解得\(\left\{ \begin{array}{c} k=a\\ b=1-a \end{array} \right. \)，
\(∴\)直线\(AB\)的解析式为\(y=ax+1-a\)，
设直线\(AB\)的解析式为\(y=k_2 x+b_2\)，
将\(A' (-1，2a-11)，B' (2，1-a)\)代入可得\(\left\{ \begin{array}{c} -k_2+b_2=2a-11\\ 2k_2+b_2=1-a \end{array} \right. \)，解得\(\left\{ \begin{array}{c} k_2=4-a\\ b_2=a-7 \end{array} \right. \)，
\(∴\)直线\(MN\)的解析式为\(y=(4-a)x+a-7\)，
\(∵MN∥AB\)，\(∴a=4-a\)，解得\(a=2\)，
(两直线平行，则\(k_1=k_2\)；若用高中的斜率公式\(k_{AB}= \dfrac{y_A-y_B}{x_A-x_B }\)会更快些，解答题慎用.)
此时\(A(-1，-3)，B(0，-1)，A' (-1，-7)，B' (2，-1)\)，
\(∴AB=\sqrt{1+4)} =\sqrt{5}\)，\(A' B'=\sqrt{9+36} =3\sqrt{5}\)，
\(∴\)四边形\(ABMN\)周长的最小值为\(AB+B' A'=\sqrt{5}+3\sqrt{5}=4\sqrt{5}\)．
综上所述，\(a\)的值为\(2\)，四边形\(ABMN\)周长的最小值为\(4\sqrt{5}\)．

 

方法2 相似三角形
与方法1相同，得到\(A(-1，1-2a)，B(0，1-a)，A' (-1，2a-11)，B' (2，1-a)\)，
过点\(B\)作与\(x\)轴的平行线交过点\(A\)作\(y\)轴的平行线于点\(C\)， 则\(C(-1，1-a)\)，

\(∵MN∥AB\)，\(∴△ABC \sim △A' B' C\)，
则有\(\dfrac{BC}{B' C} = \dfrac{AC}{A' C}\)，\(∴ \dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{12-3a}\)，解得\(a=2\)，
此时\(A(-1，-3)，B(0，-1)，A' (-1，-7)，B' (2，-1)\)，
\(∴AB=\sqrt{1+4)} =\sqrt{5}\)，\(A' B'=\sqrt{9+36} =3\sqrt{5}\)，
\(∴\)四边形\(ABMN\)周长的最小值为\(AB+B' A'=\sqrt{5}+3\sqrt{5}=4\sqrt{5}\)．
综上所述，\(a\)的值为\(2\)，四边形\(ABMN\)周长的最小值为\(4\sqrt{5}\)．