以抛物线为例，聊聊定义（保姆级教学）

适合学完二次函数的学生阅读。
 

前言

现在中高考压轴题都很喜欢考核“新定义”问题，可能为了摆脱学生“解题套路”的死板思路模式。

至少说明学数学，定义很重要。但初中学生学定义时往往只会死记内容，不会深入思考，就会出现：

曲线都是抛物线、不清晰定义与性质和判定的关系、不留意定义名称缘故等等情况，更谈不上发散思考“为什么怎么定义、换个定义可以么”之类的问题.
 

初三中抛物线的定义

即使定义很重要，但学生一般很难意识到或理解不到位，往往死记完事；

以下以初三所学的抛物线为例，提2个问题：

问题1：抛物线的定义是什么？

问题2：如下图，蓝色的曲线是半径为2的半圆，它是一抛物线的一部分么？

 

课本中初三中抛物线的定义：二次函数\(y=ax^2+bx+c(a≠0)\)的图像叫做抛物线（到高中学圆锥曲线时会有更严格的几何定义）；

对于问题2，假设半径为\(2\)的半圆是一抛物线的一部分，

则设它对应的函数解析式为\(y=ax^2+bx+c(a≠0)\)，

代入\((-2,0)，(2,0)，(0,2)\)，

得到\(\left\{ \begin{array}{c} 4a-2b+c=0\\ 4a+2b+c=0\\ c=2 \end{array} \right. \)，解得\(\left\{ \begin{array}{c} a=-\dfrac{1}{2}\\ b=0\\ c=2 \end{array} \right. \)，

则函数解析式为\(y=-\dfrac{1}{2} x^2+2\)，
 

貌似没什么问题，但它是半径为\(2\)的半圆，显然\(A(1,\sqrt{3})\)在曲线上的，

而对于\(y=-\dfrac{1}{2} x^2+2\)，当\(x=1\)时，\(y=-\dfrac{1}{2}+2=3/2≠\sqrt{3}\)，

所以\(A(1,\sqrt{3})\)不在\(y=-\dfrac{1}{2} x^2+2\)对应的图像上，即二次函数\(y=-\dfrac{1}{2} x^2+2\)的图像不是半径为的半圆，

则半径为\(2\)的半圆不是一抛物线的一部分；
 

用软件画出抛物线\(y=-\dfrac{1}{2} x^2+2\)应该是红色的曲线.

 

更多有趣曲线

你看看第4个图，它是链条自然下垂的形状，不是抛物线.
 

如何学定义

1 我们刚学一个定义，可以问下：内容是什么？如何理解其本质？为什么叫这个名称？为什么这么定义？……

（i）抛物线为什么叫抛物线？

顾名思义，该种曲线就是一个物体抛在真空中形成的轨迹；再深入探讨：为什么就是二次函数呢？就要结合高中物理知识了.

（ii）平行四边形的定义是什么？能换个定义么？

 

2 几何中，要理解定义与性质、判定的关系

平行四边形的性质和判定是什么？它们是怎么证明的？都是从定义出发！

 

思考题

最后提个思考题：平行四边形的定义能否改为“一组对边平行且相等的四边形”？