26年安徽中考数学真题第23题 二次函数+整数问题

专题：二次函数 题型：二次函数+整数点问题 难度系数：★★★★

经典例题讲解尽量从学生的角度出发，重在引导思考与总结!

【题目】

（26年安徽中考数学真题第23题）
已知抛物线\(y=\dfrac{3}{a^2} x(2a-x)\)，\(a>0\)，
（1）求抛物线的顶点纵坐标；
（2）抛物线上有两点\(A\left(x_1，\dfrac{3}{2}\right)，B\left(x_2，\dfrac{3}{2}\right)，(x_1<x_2)\).
（i）求\(\dfrac{x_1}{a}\)的值；
（ii）若\(a\)为正整数，设线段\(AB\)上横坐标为整数的点的个数为\(m\)，比较\(m\)与\(2a-2\)的大小关系，并说明理由.
 
 
 
 
 

【分析】

第一问：
方法1：把\(y=\dfrac{3}{a^2} x(2a-x)\)配方成顶点式便可知道顶点纵坐标为\(3\)；
方法2：把\(y=\dfrac{3}{a^2} x(2a-x)\)写成一般式，求出起对称轴为\(x=a\)，再把\(x=a\)代入解析式得到\(y\)值，便是顶点纵坐标为\(3\)；

 

第二问：
对\(y=\dfrac{3}{a^2} x(2a-x)=-\dfrac{3}{a^2} x^2+\dfrac{6}{a} x\)，令\(y=\dfrac{3}{2}\)，
得\(-\dfrac{3}{a^2} x^2+\dfrac{6}{a} x=\dfrac{3}{2}\)(※)，即\(2x^2-4ax+a^2=0\)，
利用求根公式可得\(x=\dfrac{4a±\sqrt{16a^2-8a^2 }}{4}=\dfrac{4a±2\sqrt{2} a}{4}=\dfrac{2±\sqrt{2}}{2} a\)，
因为\(x_1<x_2，a>0\)，所以\(\dfrac{x_1}{a}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\)；
其实也可以对方程(※)整理得\(\left(\dfrac{x}{a}\right)^2-2\cdot \dfrac{x}{a}+\dfrac{1}{2}=0\)，
再利用求根公式或配方法得\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{2±\sqrt{2}}{2}\)，
因为\(x_1<x_2，a>0\)，所以\(\dfrac{x_1}{a}<\dfrac{x_2}{a}\)，所以\(\dfrac{x_1}{a}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\)；
 

第三问：
由第二问可得\(x_1=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2} a，x_2=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2} a\)，则\(x_2-x_1=\sqrt{2} a\)，
这类型题目，要求学生有较好的分析能力，但有时候往往不知道从哪里入手，那可以从最简单的“举例”方法入手，找找感觉或找找规律；

\(a\)	\(x_1\)	\(x_2\)	\(可取整数\)	\(m\)	\(2a-2\)	比较结果
\(1\)	\(0.3\)	\(1.7\)	\(1\)	\(1\)	\(0\)	\(m>2a-2\)
\(2\)	\(0.6\)	\(3.4\)	\(1，2，3\)	\(3\)	\(2\)	\(m>2a-2\)
\(3\)	\(0.9\)	\(5.1\)	\(1，2，3，4，5\)	\(5\)	\(4\)	\(m>2a-2\)
\(4\)	\(1.2\)	\(6.8\)	\(2，3，4，5，6\)	\(5\)	\(6\)	\(m<2a-2\)
\(5\)	\(1.5\)	\(8.5\)	\(2，3，4，5， 6,7,8\)	\(7\)	\(8\)	\(m<2a-2\)

从上表看，感觉当\(a=1，2，3\)时，\(m>2a-2\)；当\(a≥4\)时，\(m<2a-2\)；
接着从更“理性”的角度思考下，
因为\(a\)为正整数，所以\(x_1=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2} a，x_2=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2} a\)均不可能是整数，
假设\(i<x_1<i+1，j<x_1<j+1\)，\(i，j\)是正整数，

由上图可知，\(j-(i+1)<\sqrt{2} a<j+1-i\)，\(m=j-(i+1)+1=j-i\)，
则\(m-1<\sqrt{2} a<m+1⇒\sqrt{2} a-1<m<\sqrt{2} a+1\)，
所以\((\sqrt{2}-2)a+1<m-(2a-2)<(\sqrt{2}-2)a+3\)，
若\((\sqrt{2}-2)a+3<0⇒a>3+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}>5\)，
即当\(a>5\)时，必有\(m-(2a-2)<0⇒m<2a-2\)；
那\(a≤5\)不确定，则再结合上表便可得结论：
当\(a=1，2，3\)时，\(m>2a-2\)；当\(a≥4\)时，\(m<2a-2\).

 

【解答】

第一问：
方法1 配方法
\(y=\dfrac{3}{a^2} x(2a-x)=\dfrac{3}{a^2} (-x^2+2ax)=-\dfrac{3}{a^2} (x^2-2ax)\)\(=-\dfrac{3}{a^2} [(x-a)^2-a^2 ]=-\dfrac{3}{a^2} (x-a)^2+3\)，
顶点为\((a，3)\)，即顶点纵坐标为\(3\)；
方法2 顶点公式
\(y=\dfrac{3}{a^2} x(2a-x)=-\dfrac{3}{a^2} x^2+\dfrac{6}{a} x\)，则对称轴为\(x=-\dfrac{\frac{6}{a}}{\frac{-6}{a^2} }=a\)，
当\(x=a\)时，\(y=-\dfrac{3}{a^2} ×a^2+\dfrac{6}{a}×a=-3+6=3\)，
即顶点纵坐标为\(3\)；

 

第二问：
对\(y=\dfrac{3}{a^2} x(2a-x)=-\dfrac{3}{a^2} x^2+\dfrac{6}{a} x\)，令\(y=\dfrac{3}{2}\)，
得\(-\dfrac{3}{a^2} x^2+\dfrac{6}{a} x=\dfrac{3}{2}\)，整理得\(\left(\dfrac{x}{a}\right)^2-2\cdot \dfrac{x}{a}+\dfrac{1}{2}=0\)，则\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{2±\sqrt{2}}{2}\)，
\(∵x_1<x_2，a>0\)，\(∴\dfrac{x_1}{a}<\dfrac{x_2}{a}\)，
\(∴\dfrac{x_1}{a}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\)；

 

第三问：
由(i)可得\(x_1=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2} a，x_2=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2} a\)，则\(x_2-x_1=\sqrt{2} a\)，
\(∵a\)为正整数，\(∴x_1=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2} a，x_2=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2} a\)均不可能是整数，
假设\(i<x_1<i+1，j<x_1<j+1\)，\(i，j\)是正整数，

\(∴j-(i+1)<\sqrt{2} a<j+1-i，m=j-(i+1)+1=j-i\)，
\(∴m-1<\sqrt{2} a<m+1\)，\(∴\sqrt{2} a-1<m<\sqrt{2} a+1\)，
\(∴(\sqrt{2}-2)a+1<m-(2a-2)<(\sqrt{2}-2)a+3\)，
若\((\sqrt{2}-2)a+3<0⇒a>3+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}>5\)，
即当\(a>5\)时，必有\(m-(2a-2)<0⇒m<2a-2\)；
当\(a=1\)时，\(x_1=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}，x_2=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\)，此时\(m=1，2a-2=0\)，\(∴m>2a-2\)；
当\(a=2\)时，\(x_1=2-\sqrt{2}，x_2=2+\sqrt{2}\)，此时\(m=3，2a-2=2\)，\(∴m>2a-2\)；
当\(a=3\)时，\(x_1=\dfrac{3(2-\sqrt{2})}{2}，x_2=\dfrac{3(2+\sqrt{2})}{2}\)，此时\(m=5，2a-2=4\)，\(∴m>2a-2\)；
当\(a=4\)时，\(x_1=2(2-\sqrt{2})，x_2=2(2+\sqrt{2})\)，此时\(m=5，2a-2=6\)，\(∴m<2a-2\)；
当\(a=5\)时，\(x_1=\dfrac{5(2-\sqrt{2})}{2}，x_2=\dfrac{5(2+\sqrt{2})}{2}\)，此时\(m=7，2a-2=8\)，\(∴m<2a-2\)；
综上可得，当\(a=1，2，3\)时，\(m>2a-2\)；当\(a≥4\)时，\(m<2a-2\).