26年成都中考真题第26题 二次函数+相似

**专题：二次函数 题型：二次函数+相似 难度系数：★★★★
**(经典例题讲解尽量从学生的角度出发，重在引导思考与总结)

【题目】

（26年成都中考真题第26题）
如图，在平面直角坐标系\(xOy\)中，直线\(y=kx+2(k>0)\)与抛物线\(y=x^2\)相交于\(A，B\)两点。
\(C，D\)两点在抛物线上，且\(CD||AB\)。
（1）若点\(A\)的坐标为\((-1，1)\)，求\(k\)的值和点\(B\)的坐标；
（2）在（1）的条件下，记\(C，D\)两点的横坐标分别为\(m，n(m<n)\)，当\(m≤x≤n\)时，函数\(y=(x-h)^2\)总在\(x=n\)处取得最大值，求\(h\)的取值范围；
（3）若\(AB=2CD\)，直线\(AC，BD\)的交点\(E\)恰好落在\(x\)轴正半轴上，求点\(E\)的坐标和\(k\)的值.

           

【分析】

第一问：
\((-1，1)\)代入\(y=kx+2⟹k=1\)，
\(\left\{ \begin{array}{c} y=x+2\\ y=x^2 \end{array} \right. ⟹ x^2 -x-2=0\)，解得\(x_1=-1\)或\(x_2=2\)，所以\(B(2，4)\)。

 

第二问：
当\(m≤x≤n\)时，函数\(y=(x-h)^2\)总在\(x=n\)处取得最大值，
所以\(n\)到对称轴\(x=h\)的距离不小于\(m\)的，

即\(|n-h|≥|m-h|⟹(n-h)^2 ≥(m-h)^2 ⟹h≤\dfrac{m+n}{2}\)，
\(C，D\)两点的横坐标分别为\(m，n\)，
所以\(C(m，m^2 )，D(n，n^2 )\)，
\(CD||AB⟹k_{CD}=k=1\)，所以\(\dfrac{m^2 -n^2}{m-n} =1⇒m+n=1⇒h≤\dfrac{1}{2}\)；

(这里利用了斜率公式\(k=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\))
若不使用，也构造直角三角形，利用相似：
过点\(A、B\)作\(x、y\)轴平行线交于点\(M\)，过点\(C、D\)作\(x、y\)轴平行线交于点\(N\)，

易得\(∆ABM~∆CDN\)，则\(\dfrac{DN}{CN} =\dfrac{BM}{AM} ⟹\dfrac{m^2 -n^2}{m-n} =\dfrac{3}{3} ⟹ m+n=1\)，所以\(h≤\dfrac{1}{2}\)；
 

第三问：

正确作出图很重要(因为点\(E\)在\(x\)轴正半轴，所以点\(C，D\)都在第一象限)，
\(\left\{ \begin{array}{c} CD||AB\\ AB=2CD \end{array} \right. ⟹∆CDE\sim ∆ABE\)，且相似比为\(1：2⟹C、D\)分别是\(AE、BE\)的中点，
设\(A(x_1，x_1^2 )，B(x_2，x_2^2 )，C(x_3，x_3^2 )，D(x_4，x_4^2 )，E(x_5，0)\)，
由\(\left\{ \begin{array}{c} y=kx+2\\ y=x^2 \end{array} \right. ⟹x^2 -kx-2=0⟹x_1+x_2=k，x_1 x_2=-2\)，
利用中点坐标公式，
由\(C\)是\(AE\)的中点可得\(\left\{ \begin{array}{c} x_1+x_5=2x_3⟹x_3=\dfrac{x_1+x_5}{2}\\ x_1^2 +0=2x_3^2 \end{array} \right. ⟹x_1^2 =2×\left(\dfrac{x_1+x_5}{2} \right)^2 ⟹x_1^2 -2x_1 x_5-x_5^2 =0\)①，
同理\(D\)是\(BE\)的中点，可得\(x_2^2 -2x_2 x_5-x_5^2 =0\)②，
①-②得\(x_5=\dfrac{x_1+x_2}{2} =\dfrac{k}{2}\)，代入①得\(x_1^2 -2x_1×\dfrac{k}{2} -\dfrac{k^2}{4} =0⟹x_1^2 -kx_1-\dfrac{k^2}{4} =0\)，
又\(x_1\)满足\(x_1^2 -kx_1-2=0\)，所以\(\dfrac{k^2}{4} =2⟹k=2\sqrt{2}\)；
所以\(x_5=\dfrac{k}{2} =\sqrt{2}\)，即点\(E(\sqrt{2}，0)\)。

 

小结：利用中点关系、联立方程韦达定理处理各点坐标之间的关系，主要考核方程思想；具体求解的过程多样，但要做到严谨。

 

【解答】

第一问：
依题意，将点\(A(-1，1)\)代入\(y=kx+2\)，可得\(1=-k+2\)，解得\(k=1\)，
由\(\left\{ \begin{array}{c} y=x+2\\ y=x^2 \end{array} \right. \)，可得\(x^2 -x-2=0\)，解得\(x_1=-1\)或\(x_2=2\)，
所以\(B(2，4)\)；

 

第二问：
设\(C(m，m^2 )，D(n，n^2 )\)，
\(∵\)当\(m≤x≤n\)时，函数\(y=(x-h)^2\)总在\(x=n\)处取得最大值，
\(∴|n-h|≥|m-h|\)，
两边平方得\((n-h)^2 ≥(m-h)^2\)，化简得\(h≤\dfrac{m+n}{2}\)，
过点\(A、B\)作\(x、y\)轴平行线交于点\(M\)，过点\(C、D\)作\(x、y\)轴平行线交于点\(N\)，

\(∵CD||AB\)，\(∴∠DCN=∠BAM\)，
又\(∠N=∠M=90^\circ\)，\(∴∆ABM\sim ∆CDN\)，
\(∴\dfrac{DN}{CN} =\dfrac{BM}{AM}\)，即\(\dfrac{m^2 -n^2}{m-n} =\dfrac{3}{3}\)，化简得\(m+n=1\)，
\(∴h≤\dfrac{m+n}{2} =\dfrac{1}{2}\)；
 

第三问：
\(∵CD||AB，AB=2CD\)，\(∴∆CDE\sim∆ABE\)，且相似比为\(1：2\)，
\(∴C、D\)分别是\(AE、BE\)的中点，

设\(A(x_1，x_1^2 )，B(x_2，x_2^2 )，C(x_3，x_3^2 )，D(x_4，x_4^2 )，E(x_5，0)\)，
由\(\left\{ \begin{array}{c} y=kx+2\\ y=x^2 \end{array} \right. \)，可得\(x^2 -kx-2=0\)，则\(x_1+x_2=k\)，
\(∵C\)是\(AE\)的中点，
\(∴x_1+x_5=2x_3，x_1^2 =2x_3^2\)，
\(∴x_1^2 =2×\left(\dfrac{x_1+x_5}{2}\right)^2\)，化简得\(x_1^2 -2x_1 x_5-x_5^2 =0\)①，
同理由\(D\)是\(BE\)的中点可得\(x_2^2 -2x_2 x_5-x_5^2 =0\)②，
①-②得\(x_5=\dfrac{x_1+x_2}{2} =\dfrac{k}{2}\)，代入①化简得\(x_1^2 -kx_1-\dfrac{k^2}{4} =0\)，
又\(x_1\)满足\(x_1^2 -kx_1-2=0\)，\(∴\dfrac{k^2}{4} =2\)，解得\(k=2\sqrt{2}\)；
\(∴x_5=\dfrac{k}{2} =\sqrt{2}\)，即点\(E(\sqrt{2}，0)\).