26年全国1卷几道压轴小题

专题：数列+概率+直线与圆方程\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)难度系数：★★★★

经典例题讲解尽量从学生的角度出发，重在引导思考与总结!

 

【题目】

（26年全国1卷几道压轴小题）
7.一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共有\(108\)座塔，依山势自上而下拍成\(12\)行，将第\(i\)行中塔的座数记为\(a_i (i=1，2，…，12)\)，其中\(a_1=1\)，\(a_2=a_3=3\)，\(a_4=a_5=5\)，且\(a_6，a_7，…，a_{12}\)是一个首项为\(7\)，公差为\(2\)的等差数列.将\(a_1，a_2，…，a_{12}\)分为\(6\)组，每组\(2\)个数.使得每组的\(2\)个数之和可构成一个项数为\(6\)且公差为\(d(d>0)\)的等差数列.则\(d=\)(\(\qquad \qquad\))
\(A.2\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)\(B.4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)\(C.6\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)\(D.8\)

 

8.设\(U=\{(x_1，x_2，x_3)|x_1\in {-2，-1，1，2}，i=1，2，3\}\)为空间中\(64\)个点构成的集合，点\(P(1，1，1)\)，记样本空间\(Ω=C_U {P}\).从\(Ω\)中随机取一个点，定义随机变量\(X\)如下：对\(Ω\)中的每个点\(A(x_1，x_2，x_3)\)，令\(X(A)=x_1+x_2+x_3\)，则\(X\)的数学期望为（\(\qquad \qquad\)）
\(A.-\dfrac{1}{21 }\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)\(B.-\dfrac{1}{63}\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)\(C.0\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)\(D.\dfrac{1}{7}\)

 

11.（多选）已知圆\(C_1:(x+1)^2+y^2=1\)，圆\(C_2:(x-1)^2+y^2=1\)，圆\(C_3:x^2+(y-\sqrt{3} )^2=1\)，直线\(l:y=kx+b\)与\(C_1，C_2，C_3\)均有两个交点，记\(l\)被\(C_1，C_2，C_3\)截得的弦长分别为\(s_1，s_2，s_3\)，则（\(\qquad \qquad\)）
\(A.\)\(k\)可以取任意实数
\(B.\)满足\(s_1=s_2=s_3\)的直线共有\(3\)条
\(C.\)满足\(s_1+s_2+s_3=3\)的直线多于\(3\)条
\(D.\)当\(b=0\)时，\(s_1+s_2+s_3\)的最大值为\(\dfrac{2\sqrt{21} }{3}\)
 

14.设实数\(q\)满足：存在数列\(\{a_n\}\)，使得对于任意\(n\in N^*\)，均有\(a_1+a_2+⋯+a_{3n}=n^2+n\)，且\(\{a_n\}\)中有某连续\(9\)项\(a_k，a_{k+1}，…，a_{k+8}\)是公比为\(q\)的等比数列，则\(q\)的最大值为\(\underline{\quad \quad}\).
 
 
 
 
 
 

【解析】

第7题

方法1：

把\(12\)个数列出来：\(1，3，3，5，5，7，9，11，13，15，17，19\)，
可尝试自行去组数，由于\(d>0\)，那新等差数列第一个数较小，第\(6\)个数较大，
由\(1，3，3，5，5，7\)和\(9，11，13，15，17，19\)两组各选一个数进行配对，同时再微调下；
最终得到\((1，7)，(3，9)，(3，13)，(5，15)，(5，19)，(11，17)\)构造新的等差数列\(8，12，16，20，24，28\)，
则\(d=4\)，
故选\(B\).
 

方法2：
设新的等差数列为\(\{b_n\}\)，公差为\(d>0\)，
新数列之和肯定等于旧数列之和，即\(6b_1+ \dfrac{6×5}{2} d=108\)，
化简得\(2b_1+5d=36⇒d= \dfrac{36-2b_1}{5}=7+ \dfrac{1-2b_1}{5}\)，
由题意可知\(b_1\)是正整数，由选项可知\(d\)是正整数，即\(1-2b_1\)只能取\(5\)的整数倍；
列表

\(1-2b_1\)	\(5\)	\(-5\)	\(-15\)	\(-25\)
\(b_1\)	\(-2\)	\(3\)	\(8\)	\(13\)
\(d\)	\(8\)	\(6\)	\(4\)	\(2\)
淘汰理由	\(b_1\)凑不出	\(b_1\)凑不出		\(b_1\)凑不出

\(1-2b_1=0，-10，-20\)时，\(b_1\)不是整数，故淘汰；
综上\(d=4\).
 

方法3：

在方法2的基础上，得到\(2b_1+5d=36\)，直接利用题目选项，
当\(d=8\)时，\(b_1=-2\)；当\(d=6\)时，\(b_1=3\)；当\(d=2\)时，\(b_1=13\)；
\(b_1\)都无法从旧数列中凑出，故排除\(A，C，D\)；
当\(d=4\)时，\(b_1=8=1+7\)；
故选\(B\).

 

【小结】

该题较为新颖，考核学生利用数列处理实际问题，一道好的反套路题；方法1有些“绕”，可能高考中没那耐心，浪费时间；方法2的思路较为“规范”些，而方法3更“应试”些.
 

第8题

方法1：

求\(X\)的分布列，再求期望；列个表更容易理解：

\(x_1 ,x_2 ,x_3\)	\(X\)的值	排列数	概率\(p\)	\(x_1,x_2,x_3\)	\(X\)的值	排列数	概率\(p\)
\(-2,-2,-2\)	\(-6\)	\(1\)	\(\dfrac{1}{63}\)	\(1,1,-2\)	\(0\)	\(C_3^1=3\)	\(\dfrac{3}{63}\)
\(-1,-1,-1\)	\(-3\)	\(1\)	\(\dfrac{1}{63}\)	\(1,1,-1\)	\(1\)	\(C_3^1=3\)	\(\dfrac{3}{63}\)
\(2,2,2\)	\(6\)	\(1\)	\(\dfrac{1}{63}\)	\(1,1,2\)	\(4\)	\(C_3^1=3\)	\(\dfrac{3}{63}\)
\(-2,-2,-1\)	\(-5\)	\(C_3^1=3\)	\(\dfrac{3}{63}\)	\(2,2,-2\)	\(2\)	\(C_3^1=3\)	\(\dfrac{3}{63}\)
\(-2,-2,1\)	\(-3\)	\(C_3^1=3\)	\(\dfrac{3}{63}\)	\(2,2,-1\)	\(3\)	\(C_3^1=3\)	\(\dfrac{3}{63}\)
\(-2,-2,2\)	\(-2\)	\(C_3^1=3\)	\(\dfrac{3}{63}\)	\(2,2,1\)	\(5\)	\(C_3^1=3\)	\(\dfrac{3}{63}\)
\(-1,-1,-2\)	\(-4\)	\(C_3^1=3\)	\(\dfrac{3}{63}\)	\(-2,-1,1\)	\(-2\)	\(A_3^3=6\)	\(\dfrac{6}{63}\)
\(-1,-1,1\)	\(-1\)	\(C_3^1=3\)	\(\dfrac{3}{63}\)	\(-2,-1,2\)	\(-1\)	\(A_3^3=6\)	\(\dfrac{6}{63}\)
\(-1,-1,2\)	\(0\)	\(C_3^1=3\)	\(\dfrac{3}{63}\)	\(-2,1,2\)	\(1\)	\(A_3^3=6\)	\(\dfrac{6}{63}\)
				\(-1,1,2\)	\(2\)	\(A_3^3=6\)	\(\dfrac{6}{63}\)

(\(x_1,x_2,x_3\)的列举按照\(3\)个相同、\(2\)个相同、\(3\)都不同的方式)
得\(X\)的分布列

\(X\)	\(-6\)	\(-5\)	\(-4\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)
\(P\)	\(\dfrac{1}{63}\)	\(\dfrac{3}{63}\)	\(\dfrac{3}{63}\)	\(\dfrac{4}{63}\)	\(\dfrac{9}{63}\)	\(\dfrac{9}{63}\)	\(\dfrac{6}{63}\)
\(X\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
\(P\)	\(\dfrac{9}{63}\)	\(\dfrac{9}{63}\)	\(\dfrac{3}{63}\)	\(\dfrac{3}{63}\)	\(\dfrac{3}{63}\)	\(\dfrac{1}{63}\)

故\(E(X)=\dfrac{1}{63} ×(-6)+\dfrac{3}{63} ×(-5)+\dfrac{3}{63} ×(-4)+\dfrac{4}{63} ×(-3)+\dfrac{9}{63} ×(-2)+\dfrac{9}{63} ×(-1)+0\)\(+\dfrac{9}{63} ×1+\dfrac{9}{63} ×2+\dfrac{3}{63} ×3+\dfrac{3}{63} ×4+\dfrac{3}{63} ×5+\dfrac{1}{63} ×6=\dfrac{-3}{63} =-\dfrac{1}{21}\)，
故选\(A\).
 

方法2：

样本空间\(Ω=C_U {P}\)中有\(63\)个样本点，而且每个样本点取到概率\(p=\dfrac{1}{63}\)；
假设我们得到一个有\(X_1,X_2,…X_{63}\)个数值的分布列

\(X\)	\(X_1\)	\(X_2\)	\(…\)	\(X_{63}\)
\(P\)	\(\dfrac{1}{63}\)	\(\dfrac{1}{63}\)	\(…\)	\(\dfrac{1}{63}\)

那\(E(X)=\dfrac{1}{63} (X_1+X_2+⋯+X_{63} )\)，
设\(X_{64} =1+1+1=3\)(点\(P(1,1,1)\)对应的\(X\))，
\(X_1+X_2+⋯+X_{63} +X_{64}\)的值是\(\{-2,-1,1,2\}\)中任意抽出\(3\)个数的组成\(64\)个样本点对应的\(X\)之和，
共抽出了\(64×3\)个数，\(\{-2，-1，1，2\}\)中每个数被抽到次数为\(\dfrac{64×3}{4}=48\)，
则\(X_1+X_2+⋯+X_{63} +X_{64} =48×[(-2)+(-1)+1+2]=0\)，
即\(X_1+X_2+⋯+X_{63} =-3\)，
所以\(E(X)=\dfrac{1}{63} (X_1+X_2+⋯+X_{63} )=\dfrac{-3}{63} =-\dfrac{1}{21}\)，
故选\(A\).

 

【小结】

方法1属于基本思路，但显得不太可取，比较费时；方法2讲得有些繁琐，若理解的话其实很快就做出来了！
 

第11题

选项A
\(k\)可以取任意实数，潜台词是不管\(k\)取什么值，都会存在\(b\)使得直线\(l\)与三个相交于两个点；
由图观察较容易得到，当直线\(l\)与其中两个圆相切时，直线不管如何上下平移，都不会同时与三个圆相交于两个交点；如下图，\(k≠ \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)；

故\(A\)是错的；

选项B
方法1
由于直线与圆的弦长公式\(s_i=2\sqrt{1-d_i^2}\)，
求得\(d_1= \dfrac{|k-b|}{\sqrt{1+k^2} }，d_2= \dfrac{|k+b|}{\sqrt{1+k^2} }，d_3= \dfrac{|b-\sqrt{3} |}{\sqrt{1+k^2} }\)，
若\(s_1=s_2=s_3\)，则\(d_1=d_2=d_3\)，即\(|k-b|=|k+b|=|b-\sqrt{3} |\)，
平方得，\((k-b)^2=(k+b)^2=(b-\sqrt{3} )^2\)，
解得\(\left\{ \begin{array}{c} k=0\\ b= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right. \)或\(\left\{ \begin{array}{c} b=0\\ k=\sqrt{3} \end{array} \right. \)或\(\left\{ \begin{array}{c} b=0\\ k=-\sqrt{3} \end{array} \right. \)，

即有三条直线满足\(s_1=s_2=s_3\)；
故\(B\)是对的；

 

方法2
观察图象，易得当直线为\(y= \dfrac{\sqrt{3} }{2}\)时，圆心\(C_1，C_2，C_3\)到其距离相等，则\(s_1=s_2=s_3\)；
\(y= \dfrac{\sqrt{3} }{2}\)是刚好经过公切点\(A，B\)；
由于对称性，可知还有两条直线\(AO，BO\)也满足；
与方法1，得到的结果是一致的；是否还存在直线满足题意，不确定，还不严谨；

 

选项C
方法1
\(s_1=2\sqrt{1-d_1^2} =2\sqrt{1- \dfrac{(k-b)^2}{1+k^2 }}\)，\(s_2=2\sqrt{1-d_2^2} =2\sqrt{1- \dfrac{(k+b)^2}{1+k^2 }}\)，\(s_3=2\sqrt{1-d_3^2} =2\sqrt{1- \dfrac{(b-\sqrt{3} )^2}{1+k^2 }}\)，
当\(b=0\)时，\(s_1+s_2+s_3= \dfrac{2}{\sqrt{1+k^2} }+ \dfrac{2}{\sqrt{1+k^2} }+ \dfrac{2\sqrt{k^2-2}}{\sqrt{1+k^2} }= \dfrac{4+2\sqrt{k^2-2}}{\sqrt{1+k^2} }\)，
若\(\dfrac{4+2\sqrt{k^2-2}}{\sqrt{1+k^2} }=3\)，则\(4+2\sqrt{k^2-2} =3\sqrt{1+k^2}\)，

化简得\((k^2-3)(25k^2-171)=0\)，解得\(k=±\sqrt{3} ，k=± \dfrac{\sqrt{171} }{5}\)，
此时已经有\(4\)条直线满足\(s_1+s_2+s_3=3\)，
故\(C\)是对的；

 

方法2
在选项\(B\)方法2中，当直线为\(y= \dfrac{\sqrt{3} }{2}\)时，\(s_1+s_2+s_3=1+1+1=3\)，

（\(∆ABC_3 、∆AOC_1 、∆BOC_2\)是边长为\(1\)的等边三角形）
由对称性，还有直线\(l\)为\(OA\)与\(OB\)时也满足\(s_1+s_2+s_3=3\)；
此时有三条；这里还找不到第\(4\)条；

 

选项D
方法1
当\(b=0\)时，\(s_1+s_2+s_3= \dfrac{2}{\sqrt{1+k^2} }+ \dfrac{2}{\sqrt{1+k^2} }+ \dfrac{2\sqrt{k^2-2}}{\sqrt{1+k^2} }= \dfrac{4+2\sqrt{k^2-2}}{\sqrt{1+k^2} }\)，
令\(t=\sqrt{1+k^2}\)，
\(∵k^2-2≥0\)，\(∴k^2+1≥3\)，\(∴\sqrt{1+k^2} ≥\sqrt{3}\)，即\(t≥\sqrt{3}\)，
则\(k^2=t^2-1\)，\(\sqrt{k^2-2} =\sqrt{t^2-3}\)，
\(∴s_1+s_2+s_3= \dfrac{4+2\sqrt{t^2-3}}{t}\)，
令\(f(t)= \dfrac{4+2\sqrt{t^2-3}}{t}(t≥\sqrt{3} )\)，则\(f' (t)= \dfrac{ \dfrac{6}{\sqrt{t^2-3}} -4}{t^2}\)，
令\(\dfrac{6}{\sqrt{t^2-3}} -4=0\)，解得\(t=\dfrac{\sqrt{21} }{2}\)，
当\(\sqrt{3} ≤t<\dfrac{\sqrt{21} }{2}\)时，\(f' (t)>0\)，\(f(t)\)递增；当\(t>\dfrac{\sqrt{21} }{2}\)时，\(f' (t)<0\)，\(f(t)\)递减；
即\(f(t)_{max}=f(\dfrac{\sqrt{21} }{2} )=\dfrac{4+2\sqrt{ \frac{21}{4}-3}}{\frac{\sqrt{21} }{2} } = \dfrac{2\sqrt{21} }{3}\)；
故\(D\)是对的；

 

方法2
当\(b=0\)时，\(s_1+s_2+s_3= \dfrac{2}{\sqrt{1+k^2} }+ \dfrac{2}{\sqrt{1+k^2} }+2\sqrt{1-\dfrac{3}{1+k^2} } = \dfrac{4}{\sqrt{1+k^2} }+2\sqrt{1-\dfrac{3}{1+k^2} }\)，
令\(t= \dfrac{1}{\sqrt{1+k^2} }\)，
\(∵1-\dfrac{3}{1+k^2} >0\)，\(∴0<\dfrac{1}{1+k^2} < \dfrac{1}{3}\)，\(∴0< \dfrac{1}{\sqrt{1+k^2} }< \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，即\(t\in \left(0， \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\)，
则\(s_1+s_2+s_3=4t+2\sqrt{1-3t^2}\)，
设\(t=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \cos ⁡α\)，
则\(s_1+s_2+s_3=\dfrac{4}{\sqrt{3}} \cos ⁡α+2 \sin ⁡α=\sqrt{ \dfrac{16}{3}+4} \sin ⁡(α+ψ)= \dfrac{2\sqrt{21} }{3} \sin ⁡(α+ψ)\)，其中\(\tan⁡ ψ=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\)，
当\(α+ψ=\dfrac{π}{2}\)，即\(\tan α=\tan⁡ \left(\dfrac{π}{2} -ψ\right)=\dfrac{\sin \left(\dfrac{π}{2} -ψ\right)}{\cos ⁡\left(\dfrac{π}{2}-ψ\right)} =\dfrac{\cos ⁡ψ}{\sin ⁡ψ} =\dfrac{1}{\tan⁡ ψ } = \dfrac{\sqrt{3} }{2}\)\(⇒\cos ⁡α=\dfrac{2}{\sqrt{7}} ⇒t=\dfrac{2}{\sqrt{21} } \in\left(0， \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\)时取到最大值；
所以\(s_1+s_2+s_3\)的最大值为\(\dfrac{2\sqrt{21} }{3}\).
综上可得，选\(BCD\).

 

【小结】
（1）思考的角度可从代数的角度也可从几何的角度思考，代数角度可能计算量较大，几何角度鼓励多观察和思考，但有时候不好想.
（2）注意图象的对称性，注意在特殊情况(\(k=0，b=0\)等)下的讨论.

 

第14题9

\(∵a_1+a_2+⋯+a_{3n}=n^2+n\)①，\(∴a_1+a_2+⋯+a_3(n-1) =(n-1)^2+n-1=n^2-n\)②，
∴①-②得，\(b_n=a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n}=2n\)，
即\(b_1=a_1+a_2+a_3=2\)，\(b_2=a_4+a_5+a_6=4\)，\(b_3=a_7+a_8+a_9=6\)，
\(b_4=a_{10}+a_{11}+a_{12}=8\)，…\(\{b_n\}\)是公差为\(2\)的等差数列，
\(a_k，a_{k+1}，…，a_{k+8}\)不可能是\(a_1，a_2，…，a_9\)或\(a_{10}，a_{11}，…，a_{18}\)等，
接着在数列\(a_n:a_1，a_2，a_3， a_4，a_5，a_6，a_7+a_8+a_9，a_{10}+a_{11}+a_{12}…\)中任取连续\(9\)个数，
必有连续\(6\)个数对应\(\{b_n\}\)中连续\(2\)项，如下图（语言真有些难表达），

假设\(b_n=a_i+a_{i+1}+a_{i+2}，b_{n+1}=a_{i+3}+a_{i+4}+a_{i+5}\)，\(i=k\)或\(k+1\)或\(k+2\)或\(k+3\)，
而\(a_{i+3}+a_{i+4}+a_{i+5}=q^3 (a_i+a_{i+1}+a_{i+2})\)，
所以\(q^3=\dfrac{b_{n+1}}{b_n } =\dfrac{2(n+1)}{2n} =1+\dfrac{1}{n}\)，
\(q\)要取最大值，则\(n\)尽量小，
当\(n=1\)时，\(a_k，a_{k+1}，…，a_{k+8}\)就是\(a_1，a_2，…，a_9\)，而\(a_1，a_2，…，a_9\)不可能是等比数列；
当\(n=2\)时，\(a_k，a_{k+1}，…，a_{k+8}\)中有连续\(6\)个数对应\(b_2\)和\(b_3\)，能够满足题意，
故\(q^3\)的最大值为\(1+ \dfrac{1}{2}= \dfrac{3}{2}\)，即\(q\)的最大值为\(\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt[3]{12} }{2}\).

 

【小结】
① 等比数列片段和性质：若\(\{a_n\}\)是等比数列，则连续\(k\)项和也成等比数列，且公比为\(q^k\)；
② 该题出得也很巧妙，考核学生的逻辑分析能力.